基于压缩感知的信号重构与DOA估计

　　摘 要：波达方向估计技术通过对回波信息的处理能够确定信源的方位等相关信息。现阶段的波达方向估计主要通过阵列的空间谱估计来实现，传统的空间谱算法需要借助大量快拍数据才能获得相对较高的分辨率。在压缩感知理论的基础上，从波达方向估计信号的空间特性出发，引入了一种协方差向量稀疏表示的波达方向估计算法。仿真结果表明，所提算法与传统算法相比波达方向估计的分辨率有所提高，在采样数据相对较少的情况下也能精确恢复原信号。

　　关键词：压缩感知；波达方向估计；重构算法；分辨率；压缩感知；协方差向量

　　中图分类号：TP39文献标识码：A文章编号：2095-1302（2019）11-00-03

　　0 引 言

　　通过阵列传感器接收的信号来实现空间信源的定位是信号处理领域的一大热点，它在军用和民用领域都有着极为重要的应用，所以對波达方向（DOA）估计的研究有着不可替代的意义。

　　早期的DOA估计方法是指波束形成类算法[1]，但是该算法的估计精度受到瑞利限的制约[2]，之后多重信号分类算法（MUSIC）的提出突破了孔径对波达方向的瑞利限制[3]，为波达方向估计提供了一个新思路，但在实际应用中对信号的快拍数和信噪比要求比较高。近年来，越来越多的现代信号处理方法被应用到DOA估计中，如利用小波变换提升信噪比[4]、借助遗传算法优化算法性能[5]等。除此之外，压缩理论的提出也有效降低了DOA的角度估计误差[6]。本文采用基于压缩传感的协方差向量稀疏表示算法实现了对DOA的估计，并通过仿真实验与MUSIC算法进行对比。

　　1 压缩感知理论基础

　　压缩感知理论主要思想是首先通过一个观测矩阵对稀疏信号进行压缩采样，之后借助一定的重构算法从少量采样值中恢复原始信号[7]。要完成上述过程需要满足原始信号具有稀疏性以及观测矩阵具有有限等距性两大前提条件[8]。

　　1.1 信号的稀疏表达

　　如果存在长度为N的一维离散信号，则该信号的lp范数为：

　　信号X∈RN，它在基矩阵Ψ下的表示系数矢量为：

　　根据公式（1），如果s满足式（3）：

　　式中的p和K如果同时满足0≤p≤2和K≥0，就意味着x可以在Ψ下进行稀疏表达。由于观测矩阵是对稀疏信号进行采样，所以，对原始信号进行稀疏表达是极为重要的第一步。稀疏分解算法是稀疏表达中的一项重要内容，目前信号稀疏分解算法中最基本的有匹配追踪算法和基追踪算法[9]。

　　1.2 观测矩阵的设计

　　获得原始信号的稀疏表示后，就要对其进行采样。设计一个观测矩阵，在该矩阵下的投影信号y不但可以包含原始信号的绝大部分信息且长度远短于原始信号。

　　压缩感知理论表明，重构算法一定时，压缩感知矩阵性能越好，信号重构误差越小。当基矩阵Ψ已知时，A就由投影矩阵Φ决定。应用最多的投影测量矩阵包括高斯矩阵和贝努利矩阵，二者均可满足有限等距性（Restricted Isometry Propetry，RIP），且具有测量次数少、重建性能高等优点。

　　1.3 信号重构算法

　　在压缩传感中，重构算法是整个过程的核心，即通过获得的测量向量y和压缩感知矩阵A来恢复原始信号x。目前使用最多的是贪婪算法和凸优化算法。

　　当公式（1）中p=0时，可得l0范数，它代表了原始信号x中非零项的个数，因此当信号具有稀疏性时，矢量方程y=As的求解就可以转化为最小l0范数的求解：

　　凸优化算法是将求解l0范数问题变成求解l1优化问题，文献[10]指出当传感矩阵A满足RIP时，用l1范数替代l0范数会产生近似解：

　　就两种算法相比，贪婪算法方法简单，但是重构质量不高；凸优化算法求解精度高，但是计算复杂度也相对较高。

　　2 基于压缩感知的DOA估计

　　根据来波方向在空域上具有的稀疏特性[11]，我们可以将压缩感知理论应用到DOA估计中。本文主要在DOA估计中引入协方差向量稀疏表示算法，该算法首先将阵列协方差矩阵进行稀疏表示，然后利用凸优化算法对稀疏信号重构实现DOA估计。

　　假设目标空间有K个远场信号入射到M元传感器阵列上，且K

　　式中：表示M×K维导向矢量矩阵；n表示高斯白噪声。接收信号的协方差矩阵可以表示为：

　　式中：Rx表示信源的协方差矩阵；σ2为噪声的方差。

　　由线性代数知识可知，R的每列可以用M维空间的完备基来进行线性表示[12]，即：

　　式中sm为系数向量，本质上是含有K个实际目标，其余元素为0的稀疏信号。，后面用A表示。当N足够大时，中就有K个向量接近或者等于，所以向量sm中有K个非零值与对应，即sm与DOA估计的信号具有相同的稀疏结构。因此可以把式（8）写为：

　　式中，理想情况下与sm稀疏结构一致，所以其非零元素与S一一对应。通过l2范数对S进行整合，我们可以定义一个新的向量，中的每个元素满足，此时中的第n个元素和S中第n行向量的l2范数相等。可见，与S具有相同的稀疏结构。所以是阵列协方差矩阵的一个稀疏表示，当σ2Im接近0时，可以通过重构进一步实现DOA估计。

　　3 仿真分析

　　实验1：在高斯白噪声条件下，假定接收阵列为8阵元均匀线阵，相邻阵元之间的间距为1/2波长，采样快拍数为256，信噪比为-10 dB，3个远场信源的到达角分别为-5°，10°，30°，两种算法的实验结果如图1和图2所示。

　　从图1和图2中可以明确看出，基于压缩感知的DOA估计比MUSIC算法的DOA估计分辨率高。

　　实验2：采用2个信源，到达角度为θ1=10°，θ2=25°。其余实验条件与实验1相同，实验结果如图3所示。

　　实验3：入射角θ1=15°，θ2=15°+Δθ，其中Δθ∈[-5°，+5°]，信噪比为10 dB，实验次数200次，其余实验条件与实验1相同，实验结果如图4所示。

　　由图3可知，DOA估计的均方根误差均随着信噪比的提高逐渐减小；当信噪比大于10 dB时，角度估计的成功率可达100%。相同的信噪比下，基于压缩感知算法的DOA估计比传统的DOA估计误差小，准确度高。

　　由图4看出，两种算法的均方根误差均随着角度间隔的增大而减小；在信号角度间距较小时，基于压缩感知算法的DOA估计比MUSIC算法的DOA估计性能好，角度分辨率明显改善。

　　4 结 语

　　本文首先介绍了DOA估计的研究历史，然后简要说明了压缩感知的基本理论并阐述了一种基于协方差向量稀疏表示的DOA估计算法。最后通过仿真实验，将基于压缩感知的协方差向量稀疏表示波达方向估计算法与多重信号分类算法相比较，证明本文算法在角度分辨率、估计精度等方面具有更好的性能。

　　参 考 文 献

　　[1] KRIM H，VIBERG M.Two decades of array signal processing research：the parametric approach [J]. IEEE signal processing magazine，1996，13（4）：67-94.

　　[2]史林.基于压缩感知的DOA估计算法研究[D].哈尔滨：哈尔滨工程大学，2017.

　　[3]趙鹏宇.基于字典优化的压缩感知DOA估计[D].西安：西安电子科技大学，2018.

　　[4]王兆瑞，张杰.一种基于小波变换的波达方向估计方法[J].测绘学报，2011，40（s1）：111-114.

　　[5]吕铁军，王河.利用改进的遗传算法的DOA估计[J].电波科学学报，2000，15（4）：429-433.

　　[6]危瑞奇.基于压缩感知的DOA估计方法研究[D].成都：电子科技大学，2017.

　　[7]王红云.基于压缩传感的信号重构与DOA估计[D].太原：中北大学，2018.

　　[8]方杰.压缩感知观测矩阵和重构算法的研究[D].广州：华南理工大学，2015.

　　[9] MALLAT S，ZHANG Z. Matching pursuits with time frequency dictionaries [J]. IEEE trans. signal process，1993，41（12）.

　　[10]王宏禹，邱天爽，陈喆.非平稳随机信号分析与处理[M].2版.北京：国防工业出版社，2008.

　　[11]胡南.基于稀疏重构的阵列信号波达方向估计算法研究[D].合肥：中国科学技术大学，2013.

　　[12]燕静波.基于压缩感知的DOA估计研究[D].西安：西安电子科技大学，2013.

　　漆昌云