以空间概念建立为导向的课堂教学——“空间中点、直线和平面的向量表示”课例点评

　　袁景涛

　　（贵州省思南中学）

　　摘要：“空间中的点、直线和平面的向量表示”一课通过适当的方法引导学生领悟点、直线和平面的向量表示中蕴含的数学思想，理解空间直角坐标系的作用，体会“位置”和“方向”在空间基本概念中的基础地位，形成了确定空间直线与平面的条件“向量化”的一般观念，进一步促进了学生直观想象素养的生成.

　　关键词：空间位置；空间向量；核心素养

　　“空间中点、直线和平面的向量表示”是第十一届高中青年数学教师课例展示活动的指定课题之一，内容与要求为：能用向量语言描述点、直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量. 并给出了教学提示：在“空间向量与立体几何”的整体架构中，用向量语言描述空间基本图形是向量方法的第一步，也是沟通向量方法与综合几何方法的桥梁. 要通过适当的方法引导学生领悟点、直线和平面的向量表示中蕴含的数学基本思想，理解参照系的作用，体会“位置” 和“方向”作为三维欧几里得空间基本概念的基础地位，形成将确定空间直线、平面的条件“向量化”的一般观念. 这节课是人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册（以下统称“教材”） 中全新编写的一节课，主要的教学目标为建立空间向量概念，并运用空间向量工具解决立体几何相关问题，具有基础性作用.

　　一、教学内容的整体构思与教学设计

　　本节课主要研究空间向量的应用. 探求利用空间向量解决立体几何问题的一般方法：先用空间向量表示点、直线和平面等基本要素，从而将立体图形“向量化”；然后，进行空间向量的运算，求得相应结果；最后，把空间向量的运算结果“翻译”为几何结论. 用空间向量表示点、直线和平面等基本要素，是问题解决的基础，也是沟通向量方法与空间图形的桥梁.

　　二、教学目标设置合理

　　执教教师认真进行了学情分析. 一是通过立体几何初步相关知识的学习，已经能够解决点、直线、平面的位置关系和度量的相关问题，并且经历过运用平面向量解决平面几何问题. 基于此，学生自然能够想到运用空间向量解决立体几何的相关问题. 二是可能存在的认知困难，学生应用向量法解决问题的意识不强，在用空间向量解决立体几何问题时，对“建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化成向量问题” 缺少经验和体会. 三是突破难点的关键：教学中，采用“图形语言—自然语言—向量语言”的路径，通过问题引导、合作探究逐步建立用向量表示点、直线和平面的一般方法. 对于推导过程中遇到的问题，通过教师搭建“脚手架”、学生小组合作探究的方式解决.

　　在教材分析与学情分析的基础上，执教教师设置了合理的教学目标：一是体现知识与技能的目标，即能用向量语言描述空间中的点、直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量；二是体现核心素养培育的目标，即初步了解立体几何中的向量方法，通过建立立体图形与空间向量之间的联系，在从几何图形到空间向量的转换中进一步体会转化与化归思想，进一步发展学生的直观想象素养.

　　本节课的教学目标简明扼要、具体，便于实施，便于检测，同时注重对学生“四基”“四能”的培养，兼顾情感、态度和价值观的教育，其广度和深度都符合《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》和教材的要求，符合学生学习的实际情况. 执教教师准备得比较充分，清晰地预设了学生可能出现的问题，课堂教学很好地达成了预设教学目标.

　　三、教学重点得以突出，教学难点得以突破

　　对于将向量由平面推广到空间的教学，执教教师既作了数学知识和工具上的准备，也作了学习方法上的准备，就是学会用向量语言来描述立体几何问题，即如何用向量表示空间中的基本图形，明确本节课的教学内容. 明确研究的基本对象是点、直线和平面，研究的任务是对象的表示. 可以看出本节课的教学重点得以突出，即用向量表示空间中的点、直线和平面，求平面的法向量的方法. 教学难点得以突破，即用向量表示平面的推导过程.

　　四、课堂教学体现了“数学味”

　　执教教师注重引导学生用数学的眼光去观察空间中的点、直线和平面. 例如，让学生独立思考，回答空间中点的表示是相对位置，用向量表示点是用向量表示直线和平面的基础. 用数学的思维去思考如何研究空间中的点、直线和平面之间的关系. 例如，从几何体系入手，引导学生思考如何确定一条直线，从而总结出确定直线的条件，引导学生利用共线定理寻找用向量表示直线的方法，让学生体会利用空间向量解决立体几何问题是用平面向量解决平面几何问题的发展；用数学的语言去刻画空间中的点、直线和平面，用位置向量去表达空间中的点，用方向向量去表达空间中的直线，用平面的法向量去表达平面.

　　五、课堂教学体现了“教学味”

　　执教教师的教学策略选择得当，始终贯彻“以学生为主体，教师为主导”的教学理念，把培养学生的逻辑思维能力作为根本目标. 在教法上主要采用任务驱动、问题启发及基于问题串的教学模式. 例如，“组成空间几何图形的基本元素是什么？”“如何用向量表示空间中的一点P ？”“如何用向量表示空间中的直线？即如何用向量表示出直线上的任意一点？”等. 在学法指导上，主要让学生自主探究、合作讨论、归纳总结和交流展示. 全方位体现了教师“教”的主导作用和学生“学”的主体地位，“教学味”浓厚. 执教教师采用启发式和探究式相结合的教学方法，使得学生能够积极思考、主动学习、合作学习. 让学生参与尝试、猜想、验证与发展的过程，最大限度提升了课堂教学效率.

　　六、课堂教学体现了“文化味”

　　数学文化狭义上包含了数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展. 本节课充分体现了数形结合、分类与整合、转化与化归等思想，充分运用了数学中的自然语言、符号语言和图形语言构建了向量表达的数学语言体系基础，也是近现代数学工具——向量的基础性构建. 执教教师的课堂始终采用“情境—问题”的教学模式，设置情境、提出问题、解决问题、注重应用. 让学生明确学习目标任务，主动思考问题，带着思考去体验，通过体验与思考进行表达. 这正是著名数学教育家吕传汉先生倡导的“三教”（教思考、教体验、教表达） 课堂教学理念的实践应用.

　　七、课堂教学体现了教师的专业素养

　　执教教师在课堂教学过程中将信息技术与课堂教学高度融合，课件的使用提高了课堂教学效率. 展示了扎实的教学基本功，教态大方自然，对学生的评价及时得当，板书设计合理，具有较强的组织教学与驾驭课堂的能力.

　　八、教学建议

　　教学目标的设置在体现对学生直观想象、逻辑推理、数学抽象等素养的培育上可以再具体一点、明确一点；教师课堂教学语言应该更加简练，更多地让学生去说，用数学语言去表达；今后的教学中还应该多角度引导学生思考问题、解决问题，进一步引导学生学会用数学的眼光去观察，用数学的思维去思考，更加充分地调动学生的学习积极性.

　　总体而言，本节课是用空间向量解决立体几何问题的基础课，具有奠基性作用，执教教师运用多种教学手段，创设了丰富、生动的教学情境，重点设计了新颖、活泼的学生活动，使得“会求平面的法向量” 这一教学重点和难点得以突出，并以问题串的形式引导学生的思考层层递进、化难为易，充分激发了学生的学习兴趣，调动了学生的探究欲望.

　　参考文献：

　　［1］ 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

　　［2］ 史宁中，王尚志. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.