浅谈高中数学破题六法

　　在数学考试中，考生常常会遇到解题过程比较繁琐或者做不下去的情况，究其原因，是由于考生对所学知识理解不够透彻，解题方法运用不够熟练. 若我们在平时教学中积极引导考生进行解题反思，反思解题过程中蕴含的数学思想方法，准确找到解题的突破口，将会收到事半功倍的效果，下面略举几例加以说明.

　　一、反客为主

　　例1. 已知函数f（x）=aex-ln x-1.

　　（1）设x=2是f（x）的极值点，求a的值，并求f（x）的单调区间 ;

　　（2）证明：当a≥ 时，f（x）≥0.

　　【规范解答】（1）函数f（x）的定义域是（0， +∞），f′（x）=aex- ，∵ f′（2）=0，∴ ae2- =0，a= . 则f（x）= ex-ln x-1，f′（x）= ex- ，当02时，f′（x）>0，所以，f（x）的单调减区间为（0， 2），f（x）的单调增区间为（2， +∞）.

　　（2）将函数看成是关于a的一次函数，则f（a） =exa-ln x-1，因为ex>0，所以，当a≥ 时，f（a）是单调递增函数，则 f（a）≥f（a）min=f（ ）=ex-1-ln x-1，设g（x）=ex-1-ln x-1，g′（x）=ex-1 - ， 当 01时， g′（x）>0， 所以， g（x）在（0， 1）上单调递减，g（x）在（1， +∞）上单调递增，g（x）min =g（1）=0，所以，f（a）≥f（a）min=f（ ）=ex-1-ln x-1≥0，综上所述，当a≥ 时，f（a）≥0.

　　【小结】从上述例子中，我们可以看到，在解决函数问题时不要墨守成规，总是将函数看成是自变量x的函数，其实换一个角度把它看成关于a的函数，这样考虑既可以活跃思维也避免了复杂的运算，减少出错的机会，使复杂问题简单化，加深了对化归数学思想的理解.

　　【实践提高】当m是什么整数时，关于x的方程x2-（m-1）x+m+1=0的两个根是整数？

　　【参考解答】因为1-（m-1）+m+1≠0，所以x≠1，将方程整理为（x-1）m=x2+x+1，得：m= = =x+2+ ，因为x，m为整数，所以x-1=±1，x-1=±3，即x=-2， 0 ， 2， 4，将x=-2， 0 ， 2， 4代入上式，得m=-1或m=7，故当m=-1或m=7时，方程x2-（m-1）x+m+1=0的两个根是整数.

　　二、化零为整

　　例2. 设等差数列{an}的前n项和Sn=m，前m项和Sm=n（m>n），求它的前m+n项的和Sm+n.

　　【规范解答一】设{an}的公差为d，由Sn=m，Sm=n，得：

　　Sn=na1+ d=m……（1）Sm=ma1+ d=n……（2），（2）-（1）得：

　　（m-n）a1+ d=n-m， ∵ m>n， ∴ a1+ d= -1.

　　∴ Sm+n=（m+n）a1+ d=（m+n）（a1+ d）=-（m-n）.

　　【规范解答二】设Sn=An2+Bn（n∈N？鄢），则

　　Am2+Bm=n……（3）An2+Bn=m……（4），（3）-（4）得：A（m2-n2）+B（m-n）=n-m，∵ m≠n， ∴ A（m+n）+B=-1，

　　∴ A（m+n）2+B（m+n）=-（m+n），Sm+n=-（m+n）.

　　【小结】由上面的解答可以看到并没有求等差数列的首项和公差，而是将前m项和的式子与前n项和的式子作差的结果看作一个整体，将整体代入前m+n项的和Sm+n的式子求得结果，这充分体现了“化零为整”的思想，也就是说解题时不着眼问题的各个部分而把注意力放在整体结构上，从整体角度思考，使解题过程简捷优化，避免了复杂的运算.

　　【实践提高】若sin（ - ）= ，求cos（ +2 ）的值.

　　【参考解答】sin（ - ）=cos[ -（ - ）]=cos（ + ）= ，

　　∴ cos（ +2 ）=cos2（ + ）=2cos 2 （ + ）-1=2× -1=- .

　　三、化数为形

　　例3. 设向量 ， ， 满足| |=| |=1， · =- ， < - ， - >=60°，求 | | 的最大值.

　　【规范解答】∵ · =- ，且 | |=| |=1，∴ cos< ， >= =- ，< ， >=120°，如图1所示，将 ， ， 的起点平移至同一点O，OA= ，OB= ，OC= ，则 - = ， - = ，∠ACB=60°，于是四点A， O， B， C共圆，即点C在？驻AOB的外接圆上，故当OC为直径时，| | 取最大值，由余弦定理得AB= = ，由正弦定理得2R= =2，即 | | 的最大值为2.

　　【小结】解答本题的关键是“化数为形”，借助图形的直观性来探索数量关系，树立数形结合意识，将向量 ， ， 的起點平移至同一点O，根据题设条件，得到A， O， B， C共圆，然后用正、余弦定理进行解答，简捷明了.

　　【实践提高】求使 + 取最小值时x的值.

　　【参考解答】 + = + ，根据两点间距离公式，上式的几何意义是点（x， 0）到点A（0， 2）的距离与到点B（8， 4）的距离的和，如图2所示，也就是在x轴上找一点，使得它到两个定点A（0， 2）和B（8， 4）的距离最小，在平面上，当三点共线时距离最小，于是，作出点A（0， 2）关于x轴的对称点A′（0， -2），则点A′（0， -2）与点B（8， 4）的连线与x轴的交点C就是要求的点，A′B的直线方程为3x-4y-8=0，直线与x轴的交点坐标为C（ ， 0），所以，x的值为 .

　　四、正难则反

　　例4. 等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=1+ ，S3=9+3 .

　　（1）求等差数列{an}的通项公式与前n项和Sn;

　　（2）设bn= （n∈N？鄢），求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

　　【规范解答】（1）设等差数列{an}的公差为d，由已知a1=1+ ， S3=3a1+3d=9+3 ， 解得d=2， 所以an=2n+ -1，Sn=n2+ n.

　　（2）由（1）可知bn=n+ ，假设{bn}中存在三项bp，bq， br（p， q， r互不相等）成等比数列，则bq2=bp·br， 即， （ q+ ）2=（p+ ）（r+ ），q2+2 q+2=pr+ （p+r）+2，q2-pr+ （2q-p-r）=0，因为p， q， r∈N？鄢，所以，q2-pr=02q-p-r=0，q2 =pr，p+r=2q，（p+r）2=4q2，即（p+r）2=4pr，（p-r）2=0，p=r，与p， q， r互不相等矛盾，故数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

　　【小结】“正难则反”就是解题时从问题的正面思考较为复杂或困难，可考虑从问题的反面入手，逆向求解，从而化难为易，由上面的解题过程我们可以看到这种思考方法可以避免复杂的讨论，减少出错的机会.

　　【实践提高】已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0}，B={x|x<0}，若A∩B≠？准，求实数m的取值范围.

　　【参考解答】∵ A∩B≠？准，B={x|x<0}，∴方程x2-4mx+2m+6=0应有负根. 当？驻=16m2-4（2m+6）≥0时，m≤-1或m≥ . 若方程x2-4mx+2m+6=0兩根均为非负数，则？驻≥0，x1+x2=4m≥0，x1x2=2m+6≥0，解得：m≥ ，所以方程有负根时？驻≥0，m< ，则m≤-1，综上所述，实数m的取值范围是{m|m<-1}.

　　五、动中思定

　　例5. 如图3，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，点P，Q分别在底面ABCD、棱AA1上运动，且PQ=4，点M为线段PQ的中点，则当P，Q运动时，求线段C1M的长度的最小值.

　　【规范解答】以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图4所示，设M（x， y， z），则P（2x， 2y， z），Q（0， 0， 2z），由PQ=4，得 =4，化简得x2+y2+z2=4，所以，点M的轨迹是以A为球心，半径为2的八分之一个球，由此可知，|C1M|min=|C1A|-2= 4 -2.

　　【小结】“动中思定”就是抓住运动变化过程中的某个特殊、暂时相对的静止状态，从而发现变量和常量的关系，找到解题的突破口，在上述问题中点M是动的，但点M的轨迹是定的，所以，先求出点M的轨迹方程，进一步分析可知当点M在C1A的连线上时，线段C1M的长度有最小值，这样问题便迎刃而解.

　　【实践提高】如图5，正方形ABCD的边长为1， P，Q分别为边AB，DA上的点. 当？驻APQ的周长为2时，求∠PCQ的大小.

　　【参考解答一】延长AB至E，使BE=DQ，又∠CBE=∠CDQ= ，CB=CD，可得？驻CBE≌？驻CDQ，则∠DCQ=∠BCE，∠DCQ+∠QCB=∠BCE+∠QCB= ，即∠QCE= ，设DQ=x，PB=y，AQ=1-x，AP=1-y，PQ=x+y，PE=x+y，在？驻CPQ和？驻CPE中，CQ=CE，PQ=PE，PC为公共边，？驻CPQ≌？驻CPE，所以，∠QCP=∠PCE，又∠QCE= ，∠PCQ= = .

　　【参考解答二】设AP=x， AQ=y，∠BCP= ，∠DCQ=？茁，则tan =1-x， tan？茁=1-y，于是 tan（ +？茁）= = . 又？驻APQ的周长为2，即x+y+ =2. 化简可得xy=2（x+y）-2. 于是tan（ +？茁）= =1，又0< +？茁< ，所以， +？茁= ，∠PCQ= -（ +？茁）= .

　　六、执果溯源

　　例6. 已知f（x）是可导函数，且f′（x）

　　A. f（1）e2014f（0）

　　B. f（1）>ef（0），f（2014）>e2014f（0）

　　C. f（1）>ef（0），f（2014）

　　D. f（1）

　　【规范解答】设g（x）= ，g′（x）= ′=

　　= <0， 所以函数g（x）= 在R上是单调减函数，所以g（1）

　　【小结】“执果溯源”就是由所要解决的问题出发去追溯问题的源头，揭示问题的本质，本题要找的源头是构造函数

　　g（x）= ，结合导数的知识将问题完美的解决. 一般来说，构造函数有下面的规律：1. 含导数式f′（x）g（x）+f（x）g′（x）可构建函数F（x）=f（x）g（x）;2. 含导数式f′（x）g（x）-f（x）g′（x）可构建函数F（x）= ;3. 含导数式f′（x）+f（x）可构建函数F（x）=f（x）ex;4. 含导数式f′（x）-f（x）可构建函数F（x）= ;5. 含导数式f′（x）+af（x）可构建函数F（x）=f（x）eax;6. 含导数式f′（x）-af（x）可构建函数F（x）= ;7. 含导数式f′（x）xln x+f（x）可构建函数F（x）=f（x）ln x;8. 含导数式f′（x）xln x-f（x）可构建函数F（x）= .

　　【实践提高】已知函数f（x）的定义域为（1， +∞），f′（x）是函数f（x）的导函数，且当x>1时，xf′（x）ln x>f（x），f（e2）=2，则不等式f（ex）

　　A. （-∞， 2） B. （2， +∞） C. （0， 2） D. （1， 2）

　　【参考解答】 设 g（x）= ，g′（x）= ′= ，当x>1时，xf′（x）ln x>f（x），即f′（x）ln x- >0，由此得g′（x）>0，所以g（x）= 在（1， +∞）上是单调递增函数. 又f（e2）=2，当x=e2时， = =1. 当x>1时，由f（ex）

　　如何在解数学题时少走弯路？则需要考生养成良好的解题反思习惯，如何进行反思？笔者认为可以从以下几个角度引导考生学会反思：1. 反思解题过程中所用的基础知识、基本技能、数学思想方法;2. 反思解题过程中的易错点、特殊解题技巧，如何突破固有的思维定势以及对审题重要性的认识;3. 反思解题所经历的思考过程，为什么这样想？从题目哪个条件得到的启发，由感性认识上升到理性思维.

　　数学考试离不开解题，解题反思能够更好地加深考生对问题的理解，提升对所学知识的综合运用能力，体验数学思想方法对解题的指导作用，久而久之，将会促成考生的反思意识由被动到主动，解题思维从模仿到创新，真正达到教育家陶行知所说的“处处是创造之地，天天是创造之时，人人是创造之人”的境界.

　　朱陈刚