高中数学“问题链”的设计与实施

　　包晓燕

　　在高中数学教育领域，随着教育理念的更新与教学方法的多样化发展，问题链导学策略因其独特的优势而逐渐受到关注。但在当前的实践课堂应用中，仍然缺少一些理论辅助与实践策略指导，就这一教学实践问题，文章首先对问题链的概念及其在数学教学中的特点与作用进行了分析，然后提出了设计问题链的三个核心原则，最后详细阐述了问题链在引入教学内容、引导自主学习、促进数学理解及培养解题能力等方面的实施策略。研究结果表明，问题链导学策略能够有效促进学生对数学知识的深入理解与思维发展，提升课堂教学效果。

　　在高中数学教学中，问题链导学作为一种创新的教学策略，其重要性不容忽视。它不仅构建了教与学的桥梁，还显著促进了学生知识体系的完善与思维能力的提升。问题链通过一系列层层递进、具有内在联系的问题，引导学生深入探究数学的本质，使复杂的数学概念变得清晰易懂。这一教学策略不仅符合高中生认知发展的特点，还有效激发了他们对数学的兴趣，提升了课堂教学的效果。本文将从问题链的基本概念入手，探索其在实践应用过程中的原则，结合实践课堂应用场景进行具体策略分析，并举例探讨。

　　1 “问题链”概述

　　1.1 “问题链”的定义与特点

　　“问题链”这一教学方法，通过精心设计一系列问题，将数学课程内容进行串联，进而形成一个逻辑上互相关联、难度上逐步递进的问题序列。这种教学方法的核心在于能够通过问题的引导，激发学生的主动思考，从而达成深化理解、培养及解决问题的综合能力。“问题链”在数学课堂中具有逻辑性、系统性等特征，这也使其拥有了连贯性、层次性与启发性的特点。连贯性是指问题与问题之间紧密的逻辑关系，层次性是指问题链中由浅入深的探索规律，启发性则是问题带给学生的思维启蒙。

　　1.2 “问题链”在数学教学中的作用

　　基于“问题链”的定义与特点，其对数学教学有着举足轻重的影响。首先，问题链的连贯性确保了数学知识与问题之间逻辑关系的紧密，能够有效帮助学生认识数学知识内容之间的联系，并且为学生构建综合应用逻辑思维。因此问题链有利于强化知识间的内在联系，能够引导学生对知识体系形成整体认识。其次，问题链的层次性也稳固了教学过程中由浅入深的科学教学规律，能够通过问题链逐步引导学生深入探索数学课程内容，让学生扎扎实实走稳每一步，正确认识理解学科。再次，问题链的启发性也能促进学生思维发展，通过问题链中的问题设计，激发学生的思考，引导学生自主发现并解决问题。进而提升并构建学生解决综合问题的能力，以及创新应用知识内容的思维模式。让学生由表面现象进入数学本质，通过综合性问题链的思考与链接，灵活掌握应用数学知识，落实核心素养的培育。最后，问题链也能激发学生学习兴趣、提高学生参与课堂活动热情。由此可见，通过问题链的链接引导启发，学生的综合解题能力与数学素养均可以得到显著提升。

　　2 高中数学“问题链”的设计原则

　　2.1 紧扣数学本质，设计关联性“问题链”

　　在设计问题链时，教师应紧密围绕数学的本质特征，通过具有内在联系的问题引导学生逐步深入理解数学概念、定理和公式。这些问题应相互关联、层层递进，形成一条清晰的逻辑链条。在具体实践课堂中，教师可以结合问题链的定义与特性，运用“温故而知新”的理念链接学生已有数学知识，运用数学知识的逻辑关系整体关联数学学习过程，体现系统性，进而将新授课内容与学生曾经所掌握的知识内容进行链接，以问题回顾引入。接下来在学生已有的基础知识之上，教师再将概念、定理进行变化，引导学生巩固并逐步探索新的知识内容，由此展开下一步的学习。后续的问题设计也要基于概念、定理的变化，环环相扣、层层递进，帮助学生梳理清晰的学习思路，深度理解数学知识内容。

　　例如，人教版高中数学选择性必修第一册《椭圆及其标准方程》一课的问题链时，教师应紧密围绕椭圆的数学本质特征，通过一系列具有内在联系的问题引导学生逐步深入理解这一概念。首先，通过回顾“圆的定义是什么？”这一问题，激活学生已有的数学认知，为后续的学习奠定基础。紧接着，问题“可以将圆看成是满足何种条件的点的轨迹？”引导学生将圆的概念与点的轨迹联系起来，为引入椭圆概念做好铺垫。随后，问题“改变上述条件，你是否还能够提出其他的轨迹问题？”旨在激发学生的发散思维能力，鼓励他们基于圆的定义进行条件变换，从而提出新的轨迹问题。这一过程不仅激活了学生的创新意识，还提高了他们解决问题的能力和实践探索能力，同时培养了分类讨论的数学思维。最后，问题“如何求两定点距离之和等于定长的点的轨迹？”直接引导学生进入椭圆定义的自主探究阶段。这个问题与前面的问题紧密相连，层层递进，形成了一条清晰的逻辑链条。通过解决这个问题，学生能够深入理解椭圆的第一定义，从而实现对椭圆概念的高效学习。

　　2.2 引发数学思考，设计启发性“问题链”

　　启发性问题链的设计应基于学生的认知水平和已有经验，通过具有启发性的问题引导学生深入思考数学问题的本质和内在联系。这些问题应能够激发学生的求知欲和探究欲，促使他们主动寻求解决问题的方法。在具体问题链设计时，教师可以通过加入挑战性问题以及创新学习方式方法的应用探索进行设计引导。以此通过趣味性的挑战问题，有效激发学生的主动探索，并且从不同视角启发帮助学生进一步参透数学概念与规律。下一步还可以通过引导学生思考解决问题的方式方法，以宏观视角看待问题链解决过程，认识解决问题的“数学学习工具”，提升学生的基础学习素养。最后，教师还可以拓展问题链的最终落脚点，用更具挑战性地拓展问题着眼于学生的综合能力，发散学生思维。

　　例如，在教学人教版高中数学必修第二册《余弦定理》时，教师可以设计一系列启发性问题链，以激发学生的求知欲和探究欲。首先，教师从学生已掌握的正弦定理出发，提出“同学们，我们已经熟悉了正弦定理，它揭示了三角形边和角与正弦值之间的关系。现在，如果我们知道一个三角形的两条边长度和它们之间的夹角，你们能否尝试推导出与第三条边相关的关系式呢？”这个问题直接挑战了学生的已有知识边界，引导他们深入思考正弦定理之外的可能性。当学生发现仅凭正弦定理难以解决新问题时，教师适时地引入余弦定理的概念，并继续提问：“在学习正弦定理时，我们运用了哪些工具或方法？是否可以考虑用同样的思路来探索余弦定理？”这样的提问不仅帮助学生回顾了学习正弦定理的过程，还启发了他们运用已知方法去探索未知领域的意识。为了进一步加深学生对问题的理解，教师又提出了一个更具挑战性的问题：“如果我们用三个向量来表示三角形的三条边，你们能否尝试从这些向量的角度出发，找出边和角之间的新关系？”这个问题不仅要求学生跳出传统的几何视角，还要运用向量这一现代数学工具来思考问题。在解决这个问题的过程中，学生的数学思维能力得到了充分的锻炼和提升。

　　2.3 引导深度探究，设计递进型“问题链”

　　递进型问题链的设计应遵循循序渐进的教学原则，通过逐步增加问题的难度和深度引导学生深入探究数学知识的本质和内在联系。这些问题应相互关联、层层递进、环环相扣，使学生在解决问题的过程中逐步构建起完整的知识体系，全面认知数学学科。在具体问题链应用与设计时，要基于学生的能力水平，从基础认知到基础概念，以应用驱动学生对知识内容的理解，进而展开针对性的学习与问题链的探索。

　　例如，在教学人教版高中数学必修第一册《随机现象》时，教师要采用递进型“问题链”的策略，以引导学生深度探究随机事件及其概率的奥秘。这一策略的核心在于通过精心构建的一系列问题，从生活实践应用认知帮助学生构建学习思维，进而让学生在解答的过程中逐步提升对知识的理解和掌握。首先，从最直观、最易理解的现象出发，提出以下问题：“日常生活中，有哪些事件是必然发生的？哪些事件是随机发生的？比如，太阳每天都从东方升起是必然事件吗？降水时水位一定会上升吗？在你的个人经历中，有没有遇到过随机事件？比如购买彩票是否会中奖？你能准确预测明天老师到校的时间吗？”通过这些问题，帮助学生初步区分必然事件与随机事件，激发他们对随机现象的兴趣。然后，再通过问题链引导学生从数学的角度思考随机事件：“在数学上，我们如何刻画随机事件发生可能性的大小？频率是什么？它如何帮助我们理解随机事件的规律性？频率的取值范围是多少？以掷硬币为例，我们能否通过实验来观察频率的变化？频率与概率之间有何联系和区别？如何基于实验数据来估计某个随机事件的概率？”这些问题旨在让学生理解频率与概率的概念，并掌握利用实验数据估计概率的方法。通过这样递进性的问题链设计，学生可以逐步深入理解随机现象及其概率的本质和内在联系，构建起完整的知识体系。通过这一问题链的设计，学生也能够更好地认识数学学科，理解知识内容的实践应用价值与意义，强化学生知识与技能的实践应用能力，落实核心素养的培育。

　　3 高中数学“问题链”的实施策略

　　3.1 运用“问题链”铺垫，引入教学内容

　　在新课开始前，教师可以通过设计一系列具有引导性的问题链来铺垫教学内容。这些问题应与学生的已有知识和生活经验相关联，充分运用问题链的系统性与逻辑性，整合数学知识体系。并且利用学生熟知的经验与知识内容，引起学生的兴趣与思考。通过这些问题链的引导，学生可以自然地进入新课的学习状态并初步了解本节课的教学重点和难点。充分运用问题链的系统性与逻辑性，整合数学知识体系。并且利用学生熟知的经验与知识内容，引起学生的兴趣与思考。

　　例如，在人教版高中数学选择性必修第二册《等差数列的前n项和》一课的教学中，教师可以首先邀请几位学生上台，依据精心设计的列队原则排列成数排。然后教师抛出一系列环环相扣、逐层深入的问题链：“第一排与第二排，乃至连续各排之间的人数变化有何规律可循？”“如果将目光稍微放宽，非直接相邻的排次之间，如第二排与第一排、第二排与第三排的人数对比，又能发现什么共同点或不同点？”“再进一步思考，处于数列两端的排次，如第四排与第一排之间，是否存在某种特定的数学关系？”这些问题能吸引学生的注意力，促使他们积极观察、认真记录，并在脑海中不断思考、探索。随着问题的逐一解答，学生会惊讶地发现自己所记录的数字竟然悄然间构成了一个等差数列。随后，教师适时地抓住这一契机，以这些鲜活的实例为引子，通过“同理可推、类比可测”的方法，为学生展示更多等差数列的实例。同时，教师还耐心地引导学生识别并圈出等差数列中的关键要素——首项、末项、公差以及通项公式等，帮助他们构建起完整的知识体系。

　　在以上教学案例中，通过这样的教学方式，教师不仅成功地吸引了学生的注意力，激发了他们的学习兴趣，还让他们在轻松愉快的氛围中自然而然地掌握了新知识。

　　3.2 运用“问题链”搭梯，引导自主学习

　　在教学过程中，教师可以设计一系列具有梯度性的问题链来引导学生自主学习。这些问题应具有一定的挑战性和启发性，能够激发学生的求知欲和探究欲。通过逐步解决这些问题链中的各个问题，学生可以逐步深入理解数学知识的本质和内在联系，并且可以探索学习过程中的方式方法，并逐步形成自己的解题方法和策略。

　　例如，在教学人教版高中数学选择性必修第二册《导数及其应用》中“定积分在求解平面图形面积”的这一关键知识点时，教师要设计一系列梯度性的问题链，为学生搭建起一座自主学习的阶梯。首先，教师抛出第一个问题：“当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的数值可取多少？”这一问题直接关联到定积分的基本性质及其在面积计算中的应用，引导学生初步感知定积分与图形面积之间的关系。接着，教师进一步加大难度，提出了第二个问题：“当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的数值又可取多少？”这一问题促使学生深入思考定积分的符号含义，即当被积函数在积分区间内部分或全部为负时，定积分如何反映图形的实际面积。随后，教师再提出一个更具挑战性的问题：“当位于x轴上方的曲边梯形的面积等于位于x轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的数值可取多少？”这一问题不仅考查了学生对定积分性质的理解，还要求他们具备将问题抽象化、模型化的能力，从而更深刻地理解定积分在复杂图形面积计算中的应用。接下来，教师还可以在问题链中设计关于学习方法的问题，如思考在进行本课学习过程中运用到了哪些学习方式，这一学习方式又曾经应用于哪些课程之中，其有什么样的优势与助益。进而让学生总结出“数形结合”等课程学习方法，并分析其作用价值，帮助学生掌握自主学习的途径工具，让学生在今后的学习过程中能够灵活应用。

　　在以上教学案例中，教师通过这些梯度性的问题链，为学生搭建起了一个自主学习的平台。学生在求解这些问题的过程中，不断思考、探索、尝试，逐步深入理解定积分的本质和应用，形成了自己的解题方法和策略。这种基于问题链的自主学习模式，不仅提高了学生的学习效率和兴趣，还培养了他们的批判性思维、创新思维和自主学习能力，为他们的终身学习奠定了坚实的基础。

　　3.3 运用“问题链”解析，促进数学理解

　　在教学数学概念和定理时，教师可以通过设计一系列具有解析性的问题链来帮助学生深入理解其内涵和外延。这些问题应涵盖概念或定理的各个方面和层次，使学生能够全面、深入地掌握其本质和特征。通过这些问题链的解析和讨论，学生可以加深对数学知识的理解和记忆，并提高其运用数学知识解决实际问题的能力。

　　例如，在教学人教版高中数学必修第二册《空间点、直线、平面之间的位置关系》中的利用向量法求解空间距离的问题时，教师可以通过问题链引导学生从不同维度、不同层面深入解析这一概念，促进其数学理解的全面性和深刻性。首先，教师可以从最基础的问题出发：“如何用点A和点B之间的向量关系来直接求解它们之间的距离？”这一问题旨在让学生回顾向量模长的定义及其在空间距离计算中的应用，为后续问题打下基础。接着，教师逐步提升问题的复杂度，提出：“如果将点B置于一条直线l上，我们该如何利用点A到直线l的向量关系来求解距离？”此问题引导学生思考向量与直线位置关系的几何意义，并探索如何利用向量投影等技巧求解点到直线的距离。随后，教师进一步拓宽问题的视野：“如何构造一个平面α及其法向量n，利用这些工具来求解点B到平面α的距离？”这一问题促使学生将二维的直线距离问题拓展到三维空间，理解并掌握利用法向量计算点到平面距离的方法，加深对空间向量与平面关系的理解。在此基础上，教师还可以设计更具挑战性的问题：“如何构造两条异面直线，并利用它们之间的向量关系来求解异面直线间的距离？”以及“如何构造两个平行平面，并利用它们的向量特性来求解平行平面间的距离？”这两个问题不仅要求学生掌握空间向量的基本运算和性质，还要求他们能够将向量知识灵活应用于解决复杂的空间几何问题，从而培养其立体思维和多向思考的能力。

　　在以上教学案例中，通过这样一系列具有解析性的问题链，教师不仅帮助学生逐步深化了对“空间点、直线、平面之间的位置关系”这一知识点的理解，还引导他们从多个角度、多个层面去审视和解析数学问题，培养了他们的综合思维能力和解题策略。

　　3.4 运用“问题链”分解，培养解题能力

　　在培养学生的解题能力时，教师可以设计一系列具有分解性的问题链来帮助学生逐步掌握解题方法和技巧。这些问题应具有一定的针对性和实用性，能够针对学生在解题过程中遇到的困难和问题进行有针对性的指导和训练。通过逐步解决这些问题链中的各个子问题，学生可以逐步提高自己的解题能力和数学素养，并形成良好的思维习惯和解题策略。

　　例如，在教学人教版高中数学选择性必修第二册《导数及其应用》时，为了培养学生的解题能力，教师可以围绕“如何降低汽车油耗”这一主题设计层层递进的子问题。首先，通过“基于你的日常经验，你会如何开始探索汽车速度与油耗之间的关系？”这个问题激发学生的好奇心，鼓励他们结合生活实例进行初步探讨。然后，通过“若汽车以40千米/时速匀速行驶200千米，根据给定的油耗公式y=x³-x+8，计算其总油耗。”这个问题引导学生运用函数代入法，巩固基础计算技能，同时体会数学与生活的紧密联系。接着，通过“为了最小化这200千米的油耗，汽车应以何种速度行驶？此时油耗又是多少？”让学生将导数知识应用于实际问题，通过设立油耗与车速的函数关系，利用导数求极值的方法，探索油耗最低时的车速。这个问题不仅考验了学生对导数概念的理解深度，更锻炼了他们将理论知识转化为解决实际问题的能力。

　　在以上教学案例中，通过这一系列精心设计的问题链，教师引导学生在解决问题的过程中，逐步深化对时间、距离、速度与油耗之间关系的理解，掌握利用导数求解函数极值的方法，从而全面提升解题能力和数学素养。

　　4 结语

　　综上所述，高中数学“问题链”的设计与实施是一项具有重要意义的教学策略。通过紧扣数学本质、引发数学思考和引导深度探究等问题链的设计原则以及运用问题链铺垫、搭梯、解析和分解等实施策略，教师可以有效地提高课堂教学效果并促进学生的全面发展。因此，在未来的高中数学教学中，我们应积极推广和应用问题链教学策略，并且结合学生的成长需求进行灵活创新，充分利用其特点与优势，推动学生数学思维的建设，构建整体化知识体系，提升综合问题解决能力。以此通过“问题链”优化高中数学课堂教学效果，为培养具有创新精神和实践能力的高素质人才做出更大的贡献。

　　（作者单位：浙江省绍兴市柯桥区职业教育中心）