一元微积分古诗趣读

　　金庸武侠小说《射雕英雄传》中的《九阴真经》分成上、下两篇，上篇讲的是指导思想（idea），下篇讲的是具体招数（technique）。虽然打架靠technique，但是在idea指挥下才能对technique应用自如，应付战场上的千变万化。没有idea的指挥，梅超风练出的technique就只是歪门邪道。这就好比诗歌，诗歌不是工笔画而是写意画，不能像数学语言那样严格地讲述定理和公式，但是却可以讲述指挥这些定理和公式的idea，帮助我们领会到这些定理和公式的真谛。以下四首诗通过浪漫的比喻和生动的形象介绍了一元微积分四个专题的主要思想。

　　微分

　　凌波能信步，

　　苦海岂无边。

　　函数千千万万，

　　一次最简单。

　　函数千千万万，千变万化，太复杂，难以研究，犹如无边苦海。怎么逃出这个苦海？将难以研究的函数转化为最简单的一次函数来研究，这就是微分。

　　金庸武侠小说段誉学了“凌波微步”的逃命功夫，虽能凌波而不沉入苦海，毕竟还需要小心翼翼地“微步”，生怕步伐太急太重堕入水中。我们改成信步，可以随意进退。有什么绝招可以如此潇洒？绝招就是“一次最简单”，将函数y=f (x)在每一点c附近用与之最接近的一次函数dy=y-f(c)=k(x-c)=kdx近似代替，就是函数图象曲线在点(c，f(c))的切线方程，切线斜率k=f ‘(c)就是导数，dy=f ’(c)dx就是微分。微分就是用一次函数代替函数，一次项系数就是导数。

　　Taylor展开

　　漫天休问价，

　　就地可还钱。

　　我有乘除加减，

　　翱翔天地间。

　　研究一般的函数太困难，犹如面对“漫天要价”，难以对付。将它变成一次函数来研究，这是“就地还钱”。在很多情况下，一次函数又过分简单，精确度不够，这时可以再“涨一点价”。例如，研究变化速度，一次就够了。研究加速度，研究弯曲程度，研究极大极小值，一次不够，就用二次函数。我们不会算三角函数、指数函数、对数函数这些“超越函数”，只会算加减乘除。将超越函数变成一次、二次多项式，就可以通过加减乘除算出来。精确度如果还不够，就用三次、四次以至更高次数的多项式。通过提高多项式的次数来提高精确度，达到满意的程度。这就是Taylor展开。无限地提高次数，用无穷级数可以达到完全精确。这就是Taylor级数。凭借通过加减乘除算多项式这样简单的本事，就能在“超越函数”这个“天”与“一次函数”这个“地”之间自由翱翔，游刃有余。

　　定积分

　　一帆难遇风顺，

　　一路高低不平，

　　平平淡淡分秒，

　　编织百味人生。

　　粗看起来，这首诗不是讲数学，而是讲人生。人生难得一帆风顺，总是高低不平。人生由分分秒秒组成。每分每秒太短暂，来不及有惊天动地的业绩，往往很平淡，但积累起来却可以编织成丰富多彩的人生。

　　匀速运动的路程等于速度乘时间。但是，宇宙间的运动难得有真正匀速的，运动总是有快有慢，速度有大有小，不能直接将速度乘时间。很短一瞬间内速度来不及变化，可以近似地看成匀速运动，将速度乘时间来计算路程。运动的时间段可分成一个个短暂瞬间，将每个短暂瞬间的速度乘时间得到短暂路程的近似值，将这些短暂路程相加就得到总路程的近似值。分成的短暂瞬间越短，误差越小。无限细分，短路程之和就无限接近于总路程的精确值。这就是定积分。

　　分分秒秒的平淡生活编织成精彩纷呈不平淡的人生。各个短暂瞬间近似匀速的运动路程组成整个变速运动。

　　原函数

　　量天何必苦登高，

　　借问银河落九霄。

　　直下凡尘几万里，

　　几多里处宴蟠桃？

　　已知速度求路程，是求定积分，很难，好比登天去量天的高度一样难。

　　为什么一定要自己从下往上量天的高度呢？可以反过来从天上到地下度量。李白诗云“疑是银河落九天”。让银河度量一下从九霄到凡尘的路程，不就是天的高度了吗？银河说从天到地九万里，就知道从地到天九万里。银河说从天宫往凡间走二里路处举行蟠桃宴，从凡间赶往天上差二里路到天宫处有蟠桃吃。

　　由速度v(t) 求路程s(t)太难。反过来由路程s(t)求速度v(t)是求导数，比较容易。求一个函数F(t) 使它的导数是已知的速度 v(t)，这个函数F(t)是否就是路程呢？ 不一定。F(t)不一定是路程，但一定是位置。最末时刻b的位置F(b)与最初时刻a的位置F(a)之差F(b)-F(a)就是路程s(t)，就是所求的定积分：

　　F(b)-F(a) =ab v(t) dt

　　定积分不仅是由速度v(t) 求路程，也可以是函数v(t)曲线与x轴之间所围面积S。

　　F(t) 就是 v(t) 的原函数。上述通过原函数求定积分的方法就是微积分基本定理，就是牛顿-莱布尼兹公式。

　　既然叫微积分基本定理，它当然就是微积分中最重要的定理。最重要的定理的想法其实非常简单：由下到上太困难，变成由上而下，将困难的事情变简单。

　　撰文/李尚志（北京航空航天大学）