小学生在除法计算中的常见错误类型、原因及教学策略——以四年级学生为例

　　吴宇宁（莆田学院基础教育学院）

　　吴丽丽（福建省莆田市荔城区教师进修学校附属小学）

　　摘要：通过总结四年级学生在除法计算中的常见错误类型，其中包括两个大类和八个子类，从知识技能、学习习惯、心理素质三个层面剖析学生出现错误的原因，并在此基础上提出优化除法算理教学、提高学生的除法竖式基本计算技能、培养学生审题、检验和整理错题本的习惯，强化学生的短时记忆能力和心理素质，培养学生的数感等策略，以此减少学生的出错率。

　　关键词：小学数学；除法计算；错误类型；教学策略

　　在小学数学教学中，三年级到六年级的课程都涉及除法计算，虽然具体的教学内容不同，但教学思路相似，学生的出错情况也有共同点。四年级除法计算是三年级除法计算的延伸，也是五年级、六年级除法计算的重要基础。因此，探究四年级学生在除法计算中的常见错误类型具有重要意义，能为其他年级学生纠正计算错误提供一定的借鉴。除法计算是学生掌握四则运算的最后一环，也是最难把握的一环。学生对加法、减法、乘法这三种计算技能的掌握程度会直接影响其对除法计算技能的掌握。除法计算较为抽象，又涉及逆向思维，特别是除数是两位数的除法，是小学中年级计算教学的重点和难点。学生刚开始学习除法计算时会感到困难，容易在实际计算过程中出错，影响其运算能力的提高，进而降低学习效率。如果将学生在除法计算过程中出现的错误简单归因于粗心、马虎等，只停留在简单纠错的层面上，就会导致学生“屡矫屡错”“屡教屡犯”的尴尬局面。学生在除法计算中出现各类错误有一定的必然性和合理性，教师有义务、有责任从深层次“诊断”和“治疗”学生的错误。因此，本研究通过总结四年级学生在除法计算中的常见错误类型，分别从学生的知识技能、学习习惯和心理素质层面剖析学生出错的原因，并在此基础上探究避免出错的有效教学策略，从而发展学生的数学核心素养。

　　一、除法计算中的常见错误类型

　　为了调查、收集、梳理四年级学生在除法计算中的常见错误类型，本研究通过自编测试卷收集数据，以福建省莆田市荔城区三所小学的四年级学生为调查对象，让其完成测试，然后回收测试卷，并对测试卷进行整理、统计和分析。根据测试结果，本研究将学生的除法计算错误分为两大类。第一大类是知识性错误，分为六个子类：类型1是商的定位错误，具体表现为把商的首位写错位置；类型2是写0占位错误，具体表现为商中有0时漏写或商中无0时多写；类型3是余数错误，具体表现为余数比除数大或在填写横式时少写了余数末尾的0（应用商不变的规律）；类型4是试商错误，具体表现为商大了或商小了；类型5是竖式写法错误，具体表现为除法竖式必须用两步计算时却只写一步；类型6是加法、减法、乘法基础计算错误，具体表现为加法进位出错、减法借位出错或乘法口诀出错。第二大类是疏忽性错误，分为两个子类：类型7是抄错数字，具体表现为列竖式时抄错了除数和被除数或在填写横式时抄错了最终答案；类型8是遗漏，具体表现为列完竖式后忘记将横式补充完整或忘记按照题目要求进行验算。

　　二、除法计算常见错误类型的原因分析

　　为避免片面归因，笔者从知识技能、学习习惯、心理素质三个层面来分析学生出现除法计算错误的原因。

　　1. 知识技能层面

　　（1） 对整数除法运算法则理解不到位。

　　小学数学四年级除法计算教学是在三年级“除数是一位数”笔算除法的基础上展开的，学生通过知识迁移掌握新知识，构建“除数是两位数”的知识体系。笔者通过整理自编测试卷发现虽然学生早已把除数是一位数或两位数的算法熟记于心，但在测试中仍然出现一些因这部分知识的欠缺所导致的错误，这说明学生对除法竖式算法存在机械记忆的问题。学生虽然记住了算法，但是不能理解其中的算理，导致在具体的计算过程中出错。例如，部分学生认为只要计算出除法竖式的商和余数就完成任务了，因而会犯“余数比除数大”的错误。虽然他们知道“余数要比除数小”这一规则，但却不知道这一规则中蕴含的道理。

　　（2） 对商不变的规律理解不到位。

　　在解题过程中，学生如果对数学概念、规律（性质） 的理解不到位就容易出现各种错误。商不变的规律是进行除法简便计算的重要依据，然而部分学生对这一规律的理解模棱两可，或者过度延伸，在解题时仅仅是对教师讲授的或教材中的解法的简单复制，未经过深度思考，以至于在解题过程中会出现多0、少0的现象。例如，在错误类型3中，学生应用商不变的规律对670 ÷ 70进行竖式计算，被除数和除数同时去掉一个0后，商不变，竖式变成67 ÷ 7，商为9，余数为4，在填写横式时余数写成了4，少写了一个0。事实上，4是67 ÷ 7的余数，而不是原竖式的余数，应用商不变的规律计算除法竖式时商虽然不变，但余数并不一定不变。

　　（3） 对加法、减法、乘法基本计算技能掌握不牢固。

　　整数除法竖式计算要求学生熟练掌握加法、减法、乘法基本计算技能。在判断初商时，学生需要运用乘法口诀进行口算；在确定初商后，学生需要根据乘法运算法则计算初商和除数的积，再用减法求余数。面对有验算要求的题目，学生还需要用到求和的知识。因此，熟练掌握加法、减法、乘法基本计算技能是进行笔算除法的前提。笔者在分析错题时发现部分学生因为加法、减法、乘法计算失误而出现错误，如用错乘法口诀导致试商出错，最后一步的减法出错导致算错余数，加法计算错误导致验算错误，等等。

　　2. 学习习惯层面

　　（1） 审题不认真。

　　在错误类型7和类型8中，部分学生由于审题不认真而出错，忽视了题目的要求。笔者从他们中随机抽取几名学生进行访谈，让他们把出错的题目再读一遍，他们很快意识到自己没有看全题目的要求，误以为只需要列竖式计算而不需要验算。笔者在自编测试卷中列出了16道针对不同知识点的竖式计算题。当拿到这样一份试卷时，部分学生会直接进行除法竖式计算，却没有细看题目的具体要求，从而导致了审题错漏。因此，审题不认真会导致学生看错数字或运算符号，或忽略题目的要求，导致后面计算出错。

　　（2） 没有检验习惯。

　　部分学生认为只要求解出答案就完成了解题任务，而不管最终结果的对错。虽然每次考试前，教师和家长都会提醒学生认真审题、认真检查，但在考试中学生仍然很难做到上述要求。一是因为他们平时做题时马虎，没有养成良好的解题习惯；二是因为他们不懂得如何检查，而在拿到批改后的试卷时，他们又会找“其实我都会，只是不小心算错了”“我要是认真点儿，肯定能全对”等理由，教师和家长通常会给学生“不够认真，不该错的错了”“马虎大意”等评语。由此可以看出，学生、教师和家长常常把计算过程中的疏忽性错误归因于学生的粗心大意，但是这样归因既不深刻，又不全面。在列完竖式后，学生如果能进行检验，就会避免出错。

　　3. 心理素质层面

　　（1） 短时记忆能力不强。

　　短时记忆是指在一段较短的时间内储存信息的记忆系统。良好的短时记忆能力可以帮助学生提高计算的正确率。通过调查，笔者发现有些学生的短时记忆能力不强，在与他们交流出现错误的原因时，“忘”是他们的回答中出现频率最高的字。学生在进行加法计算时经常会忘记加上进位，在减法借位后经常会忘记减1，还经常出现抄错数字、忘写横式等问题，这些失误都与学生的短时记忆能力不强有关。

　　（2） 数感较弱。

　　数感是指对于数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟。在试商过程中，数感强的学生很快能找到商，迅速发现被除数和除数的倍数关系，或者在一次试商不成功后，能快速、准确地调商；数感弱的学生需要经过多次试商，且容易出现错误。另外，多次试商必然要多次涂改，这样会导致整个试卷字迹凌乱，还增加了不必要的计算量，出错率自然有所增加。

　　（3） 畏难情绪。

　　学生在解题时总是希望自己能够又快又准地算出答案，一旦遇到复杂题目，心理素质差的学生会产生畏惧心理，具体表现为逃避、拖延、不想继续解题。在测试卷中，笔者设计了一道对学生而言较为复杂的竖式计算题，发现这道题在同类型的题目中错误率最高，部分学生会出现半途而废的现象，做题做到一半时因为计算量大而放弃。

　　三、除法计算教学策略

　　1. 优化除法算理教学

　　教师要先让学生理解算理，从而掌握算法。例如，在教学人教版《义务教育教科书·数学》四年级上册“笔算除法”部分中的例2“178 ÷ 30 = ”时，教师可以提问学生：“178里有几个30？”让学生算出结果，结果是几就在个位上写几。教师还可以提供小棒，帮助学生直观、清晰地理解算理。为了使学生真正理解算理，教师可以让学生在课堂上进行讨论，在交流中加深学生对算理的理解。

　　2. 提高学生的除法竖式基本计算技能

　　首先，教师要加大口算训练力度，与家长合作，组织开展打卡活动，强化学生的两位数加减法和简单乘法的口算能力，并给予学生鼓励，激发其对计算的兴趣。其次，教师要加大试商训练力度，帮助学生总结试商的方法。例如，只改变除数的试商法有首位试商（去尾）法、进一试商（收尾）法和四舍五入试商法。其中，四舍五入试商法的初商正确率较高。同时，改变除数和被除数的试商法有各自舍入试商法和随舍随入试商法。其中，随舍随入试商法的初商正确率较高。

　　3. 培养学生审题、检验和整理错题本的习惯

　　很多计算错误是学生的不良学习习惯导致的。因此，教师要重视学生良好学习习惯的养成。首先，培养学生的审题习惯。在课堂教学中，教师要带领学生认真审题、逐字读题，圈画出题目中的重要条件，如题目是否要求验算、题目要求竖式计算还是脱式计算等。其次，培养学生的检验习惯。如果学生能够在解题时主动进行检验，由疏忽造成的错误发生概率会降低。因此，教师不仅要提醒学生记得检验，还要告诉学生要检验哪些内容，如数字是否抄对、横式是否补充完整、余数是否比除数小，等等。最后，培养学生整理错题本的习惯。错题是重要的教学资源，整理错题有利于学生集中分析错因，纠正错误。然而，在实际学习中，学生缺乏整理数学错题本的积极性，没有习得整理错题本的正确方法，认为整理错题的过程过于烦琐，得不偿失。因此，教师要引导学生整理典型错题，向学生传授科学整理错题本的方法，将错题本划分为三个区域，即错题订正区、深入分析区、总结拓展区，并提供三个区域对应的进阶操作流程，即摘抄错题、订正错题、分析错题、总结错题。教师还可以让学生相互交流错题本，提高错题本的教学价值。

　　4. 强化学生的短时记忆能力和心理素质

　　在注意力集中的情况下，信息会被有效地存储和记忆。注意力越集中，单位时间内能完成、记住的内容就越多。大脑负荷太重会导致无法专心学习，因为大脑在一定时间内的专注力是有限的。注意力如果分散，把要记忆的信息重新集中起来就会耗费更多的时间和精力。因此，教师应该要求学生在计算时集中注意力，这样有利于提高学生的短时记忆能力，进而提高计算的正确率。同时，教师要增强学生的心理素质，使其保持积极的心态。有些学生缺乏战胜困难的勇气，在遇到计算量稍大或商较难判断的题目时容易产生畏惧、逃避的心理，因此，在日常练习中，教师可以选取适当的时机鼓励和表扬学生，增强其在计算方面的自信心。

　　5. 培养学生的数感

　　良好的数感有利于学生构建数学知识体系，提高运算能力。数感弱的学生计算速度慢，错误率高，而数感好的学生思维活跃，计算速度快，正确率高。数感是在学习过程中逐渐形成的，教师可以在实践中培养学生的数感，引导学生动手操作，通过剪、拼、量、做、画等具体操作，使眼、耳、口、手、脑等各个感官协调工作，感知数和数量的大小。教师还可以通过估算练习培养学生的数感，为学生提供如“43 ×（ ）< 280，（ ） 里最大能填几？”的估算练习，增强学生的数感，锻炼其快速试商的能力。

　　综上所述，本研究将四年级学生在除法计算中的常见错误类型分为两个大类和八个子类，从知识技能、学习习惯和心理素质三个层面分别进行归因，分析学生出错的具体原因。为了减少学生在除法计算中的出错率，提高其运算能力，教师应该优化除法算理教学，提高学生的除法竖式基本计算技能，培养学生审题、检验和整理错题本的习惯，强化学生的短时记忆能力和心理素质，培养学生的数感，帮助学生有效降低除法计算的错误发生率，提高其数学运算能力，从而发展学生的数学核心素养。

　　基金项目：2022年福建省教育科学“十四五”规划课题——小学生数学运算错误的认知心理学分析及教学对策研究（FJJKBK22-157）。

　　参考文献：

　　［1］ 吴宇宁，李祎，林伟华. 有效纠错教学的基本内涵与实施［J］. 宁波大学学报（教育科学版），2018，40（6）：88-93.

　　［2］ 吴宇宁，李祎. 教师错误分析能力存在的问题与提升对策［J］. 基础教育研究，2021（7）：30-34.