深度学习视域下培养小学生数学思维的策略

　　刘兴贵

　　数学思维是助力学生从浅层学习转向深度学习的一种无形推手，是学生理性思考现实世界的一种必备能力。在新课标背景下，为了提升小学生用数学思维思考现实世界的能力，教师应从根本上转变学生的学习方式，引领他们从浅层学习转变为深度学习，让他们在多维化的问题情境、多元化的探究活动和多样化的课后作业中发展数学思维。随着学生数学思维的发展，他们会更为理性地思考现实世界，并在理性思考现实世界的过程中进一步发展自身的数学核心素养。

　　深度学习是相对于死记硬背、机械重复的浅层学习而言的一种学习方式，是一个具有挑战性的学习过程，有助于学习者构建更为清晰、完整的知识体系，有助于学习者灵活、自如地运用知识解决相关问题，有助于培养学习者的高阶思维。重知识灌输轻思维培养是导致小学生在数学学习过程中浅尝辄止的主要原因。在深度学习视域下，教师应以多维化的问题情境为纽带、以多元化的探究活动为场域、以多样化的课后作业为抓手，培养学生的数学思维。

　　1 以多维化的问题情境为纽带，培养数学思维

　　问题情境不仅是学生深度学习数学知识的切入点，而且是学生培养数学思维的增长点。提出问题、分析问题和解决问题，既是学生由浅入深理解数学知识的一个过程，也是学生循序渐进发展数学思维的一个过程。教师可通过启迪、引领、指导学生提出、分析和解决问题，创设多维化的问题情境，并以此为纽带，培养学生的数学思维。

　　1.1 提出问题：启迪学生在真实情景中构建问题空间

　　启迪学生在真实情景中构建问题空间，重在培养学生提出问题的能力，培养学生的问题意识。唯有提出有深度、有广度、有梯度的问题，学生才能够更为全面、深入、通透、细致、准确地理解相关知识。真实的情景既是学生理解抽象数学知识的一种场域，也是学生构建问题空间的一种支架。

　　以人教版小学数学六年级下册“圆柱和圆锥”这部分内容为例，教师要求学生利用五颜六色的纸张、双面胶、剪刀等材料和工具，动手制作大小不同的圆柱体、圆锥体。而这，正是教师创设的真实情景。不仅如此，教师还从“我看到了什么”“我有什么发现”“我最感兴趣的问题是什么”“我认为最值得研究的问题是什么”“我提出这个问题的理由是”五个方面，启迪学生提出关于圆柱、圆锥的问题，构建问题空间。在教师的启迪下，学生的问题也接踵而至，如，我看到圆柱体和圆锥体的样子不同，我认为“圆柱和圆柱特征的异同之处”是一个值得研究的问题。我发现在现实生活中有各种各样的圆锥和圆柱，我对“圆柱和圆柱的实际应用”这个问题比较感兴趣，我提出这个问题的理由是在实际生活中有许多圆柱体的容器。我对“圆锥和圆锥的实际应用”这个问题比较感兴趣，我提出这个问题的理由是想进一步了解圆锥在现实生活中的各种妙用……

　　立足真实情景，学生提出了各种各样的问题，逐步构建了一个有广度、有深度、有厚度的问题空间。与此同时，学生内心深处也会逐渐产生进一步分析、解决这些问题的迫切愿望。这种“愿望”也会逐渐转化为学生深度学习的一种内在驱动力。

　　1.2 分析问题：引领学生在整理分类中明确探究路线

　　在学生自主构建的问题空间中，有一些问题是重复的、交叉的，也有一些问题表述不清等。因为不同学生的想法不同、认知不同，所以他们所构建的问题空间也会有所不同。为了更好地发挥问题空间在助力学生深度学习方面的作用，教师应引领学生分析问题，即对问题空间中的各种问题进行分类整理，以此明确探究路线。

　　仍然是以“圆柱和圆锥”这部分内容为例，在学生甲的问题空间中有这样一个问题：“我做的这个圆锥好奇怪呀！当我从正面看这个圆锥时，它是一个等腰三角形，但是，当我将这个圆锥展开之后，它却变成了一个直角三角形。这是为什么？”通过分析，小组内的其他学生一致认为，学生甲提出的这个问题，表述啰唆，且不够清晰。整理修改之后的问题表述如下：“为什么我做的圆锥从正面看是等腰三角形，而展开之后，却是一个四分之一圆呢？”除了类似于这样的问题整理修改之外，学生还在教师的引领下，对问题空间中的各种问题进行了分类，如，哪些问题是关于圆锥体和圆柱体特征的问题，哪些问题是关于表面积计算的问题，哪些问题是关于实际应用的问题……通过分类，进一步唤醒了学生已有的学习经验，完善了他们的认知角度，也让学生的探究知识的路线变得更加清晰、明确。

　　在教师的引领下，学生通过对问题进行整理分类，能够使问题空间中的所有问题从模糊化走向清晰化、从零散化走向结构化，为学生更进一步地分析问题、解决问题奠定坚实的基础。当然，以整理分类问题空间中的各种问题为契机，学生的对比分析能力、整理分类能力等思维品质，都会得到逐步发展与提升。

　　1.3 解决问题：指导学生在猜想验证中实现深度学习

　　围绕问题展开合理猜想，并基于猜想在实践中验证，是解决问题的一条蹊径，也是发展思维的一种路径。在多维化的问题情境中，教师应指导学生聚焦问题展开合理猜想，并在真实、有趣的实践中，进一步验证自己的猜想。合理猜想能够使学生的思维变得更加活跃，实践验证能够使学生的思维可视化。

　　以“圆柱和圆锥”这部分内容为例，学生甲首先围绕“如何利用圆柱和圆锥的关系，推导圆锥体积计算公式”这一问题，提出了合理猜想：三角形是长方形的二分之一，但是，到了三维图中就变成了三分之一，是不是所有图形都符合这一点？如果圆柱体和圆锥体也符合这一点，那么，根据圆柱体的体积计算公式，是不是就可以推导出圆锥体的计算公式呢？紧接着，学生甲利用相关的材料和工具制作等底等高的圆锥体和圆柱体，并验证自己的猜想。最后，从围绕问题提出猜想，到立足实践验证猜想，学生进一步理解了圆柱体和圆锥体之间的关系，并基于二者之间的关系，推导出了圆锥体的体积计算公式。

　　在合理猜想、实践验证的过程中，学生对相关数学知识的理解会更加深入、通透、细致，学生也会逐渐形成推理意识、推理能力，学生的抽象思维能力也会得到逐步发展，学生解决问题的能力也会有所提升。与此同时，整个学习过程也逐渐从浅表学习走向了深度学习。

　　2 以多元化的探究活动为场域，培养数学思维

　　学生是课堂的主体也是学习的主人。数学概念探究活动、数学运算探究活动和数学文化探究活动等多元化的探究活动，既是学生深度学习数学知识的一种方式，也是发展学生数学思维的一种场域。

　　2.1 在数学概念探究活动中培养数学思维

　　“平均分”“平均数”“公倍数”“公因数”“循环小数”“不循环小数”……这些抽象的数学概念是小学数学教材中的基本内容。在指导学生学习这些数学概念时，教师不能直接将这些概念呈现在学生面前，更不能要求学生死记硬背这些概念，而应该设计一些形象、生动、有趣的概念探究活动，让学生在自主探究过程中，形象、直观、准确地理解相关的数学概念。

　　例如，为了让学生理解“平均分”这一数学概念，教师让每位学生都拿出了九根小木棒，并尝试将其平均分为三份。学生甲首先在课桌上划分了三个区域。紧接着，在三个区域中分别放入了一根小木棒。之后，又依次在三个区域中放入了一根小木棒。最后，将手中剩下的三根小木棒分别放入三个区域中。学生乙首先将九根木棒任意分成三份。之后，从最多的一份中拿出一根放入最少的一份中，直到三份中小木棒的数量相同为止……不同的学生，尝试运用各种不同的方法，或逐个分配，或任意分配，将九根小木棒进行了平均分配。与此同时，学生需要观察对比小木棒数量的多与少，推理判断平均分配九根小木棒的有效方法、准确思路等。而这，正是学生探究“平均分”这一数学概念的过程。

　　无论学生运用哪种分配方法，他们最终都能达到平均分配的目的。在此过程中，学生对“平均分”这一抽象的数学概念有了形象的认识、准确的理解，并能够根据平均分配的过程，自主为“平均分”下一个较为完整、准确的定义。在数学概念探究活动中，学生不仅能够深度理解数学概念的内涵，而且能够发展自己的观察能力、分析能力、推理能力等数学思维。

　　2.2 在数学运算探究活动中培养数学思维

　　运算能力是义务教育阶段学生数学思维的表现形式之一。为了启迪、引领学生理解算理、掌握算法，以及培养学生的运算能力，教师应设计一些主题鲜明、内容丰富、形式有趣的数学运算探究活动。在这样的探究活动中，学生亲历了知识的生成过程，经过计算实践、提炼归纳、对比分析等途径，概括、总结出来算理与算法等。

　　以人教版小学数学五年级上册“小数除法”这部分内容为例，教师利用多媒体课件，为学生创设了公园跑步健身的生活情景，并启迪学生围绕跑步情景提出数学问题。学生甲提出了这样一个数学问题：王鹏计划4周跑步22.4公里，那么，他平均每周应该跑多少千米？根据该情景中的已知条件和未知条件之间的关系，学生甲列出了算式：22.4÷4= 。但是，在计算过程中，学生甲遇到了如何处理小数点的问题。于是，学生甲进行了各种尝试，如，先将小数点忽略不计，直接运用整数除法的运算方法进行计算。然后，基于商乘除数等于被除数的关系，进行了验算。最后，学生甲发现，如果将小数点忽略不计，其计算结果比实际结果大十倍。根据这一“发现”，学生甲归纳、总结出来小数除法的算理、算法。此外，学生甲还尝试将被除数和除数都扩大十倍，将算式转变为224÷40= ，然后，直接运用整数除法的运算方法进行了计算，最后，学生甲发现，如果将被除数和除数同时扩大十倍，那么，其计算结果与实际结果正好相等。

　　学生在自主探究运算方法的过程中，往往会出现各种各样的错误。以错误为切入点，学生会进行持续不断的“试错”，会不断修正自己的计算方法，优化自己的计算过程，并从“试错”逐渐转变为“识错”。与此同时，学生的对比分析能力、推理判断能力、逆向思考能力等数学思维，都会得到逐步发展。

　　2.3 在数学文化探究活动中培养数学思维

　　立德树人是教育的根本任务。多姿多彩的数学文化是涵养学生思想道德品质的甘泉，是落实立德树人教育根本任务的媒介。教师应围绕教学内容，设计一些有趣、有序、有效的数学文化探究活动，让学生在自主探究数学文化的过程中，深度理解数学知识，以及逐步发展数学思维。

　　例如，在教人教版小学数学五年级上册“简易方程”这部分内容时，教师鼓励学生通过阅读教材、互联网搜索等途径，搜集、整理关于“方程”的数学文化，并组织他们在课堂中进行深度交流。有学生说，方程两个字是来源于我国的《九章算术》。也有学生说，在我国，古代数学家们最早提出了解方程的方法，如代数法、几何法。还有学生说，即便是在现在，人们还经常使用代数法、几何法这些解方程的方法……在畅所欲言的深度交流中，学生对方程的“前世”与“今生”有了更为详细的了解，会不由自主地因我国古代数学家在方程研究方面所取得的成就而感到自豪，并由此而逐步产生一种民族自豪感、产生一种文化自信。

　　通过组织学生搜集、整理、分享、分析关于方程的数学文化，能够让他们对方程的概念有更为准确的理解，激发他们学习方程知识的兴趣，调动他们运用方程解决相关问题的积极性。在此过程中，学生的对比分析能力、概括总结能力等数学思维也会得到逐步发展。

　　3 以多样化的课后作业为抓手，培养数学思维

　　作业是教学中不可或缺的一个环节，重在引领学生夯基固本、拓展延伸。在“双减”背景下，为了切实减轻学生的课业负担，教师精心设计了多样化、数量少、质量高的课后作业。以这些课后作业为抓手，不仅能够强化作业在夯基固本、拓展延伸方面的作用，而且能够促进学生数学思维的发展。

　　3.1 以调查类数学作业为抓手，培养数学思维

　　调查类数学作业，是指让学生在调查研究过程中，深度理解、牢固掌握、灵活运用数学知识的一类作业。这类作业形式活泼有趣，能够将数学学习与现实生活紧密联系起来，培养学生用数学思维思考现实世界的意识、习惯和能力，进而促进学生数学思维的发展。

　　以人教版小学数学六年级下册“百分数”这部分内容为例，教师设计了一项调查类数学作业——调查利率、对比不同存储方式的优势与不足。在课后，学生或通过询问父母或通过手机银行app等途径，调查了不同银行不同存储方式、不同存储期限的利率，并对比分析不同存储方式的优势与不足。如通过调查，学生会发现，在存储期限相同的前提下，同一银行中零存整取的利率低于整存整取的利率；利率会根据存储期限、存储方式的变化而变化。利率通常都是以百分数的形式呈现的。学生在调查利率，以及分析各种存储方式的过程中，能够对百分数这一概念有更为深入、细致的理解，能够循序渐进地发展自身的对比分析能力、百分数运算能力等数学思维。

　　调查类作业不仅具有很强的趣味性，而且具有浓厚的生活气息。以调查类数学作业为抓手，教师能够将学生的视线从数学教材转移到现实生活之中，让学生用数学思维深度思考现实生活，运用所学数学知识灵活、自如地解决现实生活中的相关问题，从而助力学生内化数学知识，发展数学运算能力等。

　　3.2 以游戏型数学作业为抓手，培养数学思维

　　枯燥乏味的作业会降低学生完成作业的积极性，禁锢学生的思维，降低学生完成作业的效率。集趣味性、娱乐性和知识性于一体的游戏型作业，能够充分调动学生完成作业的积极性，活跃学生的思维，提升学生完成作业的效率，更好地发挥作业在培养学生数学思维方面的作用。

　　例如，整理错题是旨在引领学生查漏补缺、巩固知识、发展能力的一种常规数学作业。但是，因为这种作业形式枯燥、过程乏味，所以导致学生完成作业的积极性下降。鉴于此，教师将此项作业与“数学医院”游戏深度融合在一起。在此项游戏型作业中，学生有了一种虚拟的身份——医生。各种错题则成为“病号”。作为“医生”的学生，需要为每一个“病号”，即错题，撰写详细的“病历”，包括“疾病名称”“发病原因”以及“医治方法”等。“疾病名称”也就是错题的类型。“发病原因”则是重在分析出错的根本原因。“医治方法”既包括这道题目的正确解法，也包括今后避免类似错误的有效做法。原本枯燥乏味的改错过程，在“数学医院”里变得趣意盎然，进而调动了学生改错、纠错的积极性，引领他们在错题中学习，在错误中成长。

　　通过对传统作业进行游戏化“改造”，使原本枯燥乏味的作业变得趣意盎然，将学生消极被动的写作业态度转变为积极主动，让学生完成作业的效率也实现了从“低”到“高”的跨越。同时，在完成游戏化的作业时，学生的思维变得非常活跃，运算能力、推理能力等数学思维也会得到较为显著的发展。

　　3.3 以反思式数学作业为抓手，培养数学思维

　　反思式数学作业，是一种旨在引领学生更为全面、通透、细致理解数学知识，更进一步发展数学思维的作业。数学日记是一种较为常见的反思式数学作业。通过完成反思式数学作业，学生能够进一步厘清数学知识之间的联系，建构更为清晰、完整的数学知识体系，以及发展自身的归纳、概括、推理等数学思维。

　　以人教版小学数学五年级下册“长方体和正方体”这部分内容为例，教师设计了一项反思式数学作业，要求学生以数学日记的形式，建构关于“长方体和正方体”的数学知识。在完成此项作业时，有的学生采取横向对比的方式，言简意赅、图文并茂地归纳、概括、总结了长方体和正方体的特征、表面积的定义、表面积计算公式、长方体和正方体之间的关系等；也有学生采取了纵向延展的方式，用简明扼要的文字，叙述了长方体的基本特征、长方体的表面积计算公式、利用长方体基本特征解决实际问题、利用长方体表面积计算公式解决实际问题等。尽管学生在完成此项作业时，基于不同视角，运用了不同的方式，但是，却达到了同样的效果——深度学习。

　　通过完成反思式数学作业，学生能够循序渐进地建构出一张纵横交错、衔接紧密、内容全面的知识网，他们能够进一步理顺知识之间的关系，深度理解相关知识。学生的学习过程也会变得更加有深度、有效度。同时，在对比分析、梳理归纳相关知识点的过程中，学生的逻辑推理能力、对比分析能力、归纳概括能力等数学思维也会得到发展与提升。

　　“会用数学思维思考现实世界”是新课标背景下小学数学教师发展学生核心素养的一项基本内容。以多维化的问题情境为纽带、以多元化的探究活动为场域、以多样化的课后作业为抓手，教师不仅能够循序渐进地培养学生的数学思维，而且能够培养学生用数学思维思考现实世界的意识、习惯和能力。当学生逐渐学会了用数学思维思考现实世界之后，他们就会从浅层学习转变为深度学习，清晰感知现实世界中的理性之美，逐步形成理性思维、理性精神。

　　（作者单位：甘肃省平凉市泾川县第三小学）