简析高中阶段数系的扩张与发展

　　摘 要：数学起源于自然数的发明，自然数的发展经历了“具象--抽象--序列”的发展过程。本文对高中阶段数系的扩张与发展做相应的探讨。

　　关键词：高中 数系 扩张 发展

　　在文字产生之前，人类已形成数的概念，并开始记载数目，但此时的数并非抽象的数，只是用绳结或刻痕的数目代替另一类事物的数目，数字符号的产生使自然数从具象到抽象迈出了决定性的一步。在经历了近50000年的发展后，自然数的性质开始逐渐被人们认识，从最初表示事物多少的基数性，到表示事物顺序的序数性，每次认识的深入都对人类社会产生更多的影响，今天我们正处于信息社会，自然数有了一种全新的功能，就是对一切信息进行编码。自然数的这个新功能大大地拓广了数学研究和应用的领域，并产生了一系列数学化的新领域。这样的编号，例如号码，条形码，身份证号码等，既不表示大小，也不表示顺序，而是表示一段信息。所以，自然数的性质是否已经完备，这个问题也许会随着研究的深入而越来越难以回答。

　　下面我们再来说说正分数。正分数是在自然数的基础上，由于实际需要而产生的。3个人要分4个苹果，每人分得1个后还剩下1个，于是他们就把剩下的一个苹果切成相等的3份，每人再分得其中的1份，即1个苹果像，……这类分子为1的单位分数，对于简单的再分已经足够用了，当它们不能满足一些较为复杂的再分行为时，就产生了更为一般的分数。有趣的是分数带有强烈的地域特征。巴比伦的分数是60进位的，埃及采用的是单位分数，阿拉伯的分数更加复杂：单位分数、主分数和复合分数。这种繁复的分数表示必然导致分数运算方法的繁杂，所以欧洲分数理论长期停滞不前，直到15世纪以后才逐步形成现代的分数算法。——所以欧洲人至今也惧怕分数。与之形成鲜明对照的是中国古代在分数理论上的卓越贡献，中国古代对分数的研究比欧洲早1400多年。原始的分数概念来源于对量的分割。但是《九章算术》中的分数是从除法运算引入的。其“合分术”有云：“实如法而一。不满法者，以法命之。”这句话的今译是：被除数除以除数，如果不能除尽，便定义了一个分数。这几乎就是分数的现代定义——两个自然数的比。

　　我们再来说说负数。对于负数人们容易产生一种误解：似乎人类是从对具有相反意义的量的认识而引进负数概念的。事实表明：虽然负数产生的具体年代已无从考证，但负数产生的直接原因却是解方程的需要，人们在求解类似的方程的根时，必须引入负数并建立正负数的运算法则。负数虽然通过阿拉伯人的著作传到了欧洲，但16世纪和17世纪的大多数数学家并不承认它们是数，或者即使承认了也并不认为它们是方程的根。一些数学家甚至把负数说成是荒谬的数，如韦达完全不要负数，帕斯卡则认为从0减去4纯粹是胡说。负数是人类第一次越过正数域的范围，前此种种的经验，在负数面前全然无用。在数系发展历史进程中，现实经验有时不仅无用，反而会成为一种阻碍。但负数并不是惟一的例子。

　　在公元前5世纪，古希腊是奴隶制社会，当时的毕达哥拉斯学派证明了勾股定理、三角形内角和为180度等重要的数学定理，首先提出了黄金分割、正多边形和正多面体等精彩概念，对古代数学的发展做出了巨大的贡献。但是，毕达哥拉斯学派的数学研究的主要目的并不在于发现各种具体的数学规律，而是希望能揭示出数学规律的“普遍含义”，并由此对世上的事物和现象作出解释。毕达哥拉斯学派认为任何量都可以表成两个整数之比（即有理数），但该学派的成员希帕索斯在公元前470年左右首先发现了不能用整数比表示的数，他画了一个边长为的正方形，设其对角线长为，由勾股定理得，而这个却无法用两个整数之比表示。希帕索斯提出的问题及这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到恐慌，其动摇了当时被尊为神圣真理的信念和这个学派的哲学核心——万物皆数（“万物皆数”理论：数是万物的本原；数产生万物，数的规律统治万物。1是最神圣的数字，1生2，2生诸数，数生点，点生线，线生面，面生体，体生万物），所以毕达哥拉斯学派决定隐藏这个秘密，但没有成功。因为希帕索斯忍不住将这个秘密泄露了出去，因此希帕索斯被囚禁，受到百般折磨，最后被抛入大海，葬身鱼腹，为科学献了身。然而，真理是淹没不了的，人们开始发现越来越多这样的新数，为纪念这位“科学的星座”以及他所受到的毫无道理的待遇，就把这些新数称为了“无理数”。

　　有理数和无理数一起统称为实数。在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度。方程理论的研究表明：几次方程就有几个根——这成为后来的代数学基本定理，但问题是似乎存在这样大量的反例。为了解决解方程时，遇到负数开平方的问题，人们引入了虚数，虚数的出现是数学史上的一件大事，这是数的第三次扩张，此次扩张放弃了实数的大小顺序关系，这是非常有意义的。因为复数不仅能表示量的大小，还能表明方位，有极大的实用价值。大约到了19世纪初叶，数学家们考虑能不能再进一步地扩充数系？确切地说，是不是可以把复数本身作为更广泛的数系的特点，而且这类数系也是从实际出发，但借助了两个以上不同的单位而建立起来的，且还能保持全部的基本运算规律呢？答案是否定的，原则上不可能再进一步扩充数系并且使得算术的全部基本规律仍被保持。但是，若舍去其中几条，那么数的第四次扩张是可能的。在数学史上，出现了两种途径的第四次扩张。第一种扩张大约在1843年，由英国数学家哈密顿提出了四元数。四元数的发现具有十分重大的意义，其转变了人们关于运算的传统观念，开阔了思路，促使数学家们离开实数和复数固有的性质去开拓新的数学领域，导致了线性代数和线性结合代数的诞生。后来数学家凯莱在1845年又提出了八元数，德国数学家格拉斯曼在1844年提出了一种有几个分量的所谓的超复数。此时，数学家们已从扩大数系的方向转到了对数系内部的研究上去了。第二种扩张是在1960年秋，美国数学家阿伯拉罕·鲁宾逊用数理逻辑的方法将“无穷小”和“无穷大”作为“数”深入到实数系中，使得实数域扩充到了超实数域。人们有趣地发现，曾被柯西从数系中排除出去的无穷小，经过否定之否定又回到数系中来，并占据了合法的席位。

　　从简单到复杂，数系的发展可以分为七个主要阶段。它们是：正整数系；整数系；有理数系；实数系；复数系；四元数、八元数等；超限数。从逻辑和教学的观点看，这种划分是次序井然的，但是从历史上看却不是这样。数的历史发展的大体顺序是自然数，分数，无理数，零，负数，虚数（复数）四元数、超限数。

　　参考文献

　　[1]《数》 约翰·塔巴克

　　[2]《古今数学思想》 莫里斯·克莱因

　　[3]《数学史简编》 王青建

　　史亚林