充分必要条件的教学及其在数学解题中的应用
- 来源:职业
- 关键字:数学教学,机票,人民币,机票
- 发布时间:2011-09-01 14:48
我们在数学教学中发现，学生对充分必要条件的学习普遍感到困难，抓不住要领。虽然教学大纲对这部分内容的要求不是很高，但它作为一种数学思想，对培养学生判断问题和解决问题的能力是很有用的。教师要善于把抽象的数学语言转换成通俗语言，帮助学生理解问题。
问题1：到民航售票处买机票，单拥有人民币是不够的，还要有身份证才能买到机票。
这实质是一个充分必要条件问题。单“拥有人民币”这个条件对于“买到机票”这件事来说是不够的，不充分的，必须加强条件。但加到什么程度才能恰好买到机票呢？显然，加上身份证明就够了。然而，人民币、身份证明对于买到机票这件事来说是必不可少的，缺少了任何一种都不能买到机票。
定义1：如果条件A成立，那么就有结论B成立，即A=〉B，就说A对于B成立是充分的，A是B成立的充分条件。
这就是说，为使结论B成立，具备条件A就够了。
定义2：如果没有条件A，就没有结论B成立，则A=〉B，那么就说A对于B成立是必要的，A是B成立的必要条件。
对于问题1，“拥有人民币”或“身份证”只是买到机票的必要条件。同时拥有“人民币”和“身份证”才是“买到机票”的充分条件。我们用通俗的语言引入充分条件和必要条件的定义，可以很好地帮助学生理解充分必要条件的要义。
问题2：a、b、c是三角形的三条边，要成为一个三角形，a、b、c应满足什么条件。
这实际上是要寻求一个充分必要条件。考虑结论成立的几个必要条件。
（A）a＞0，b＞0，c＞0；(B)a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a；(C)|a–b|＜c，|a–c|＜b，|b–c|＜a。（D）“以a、b、c为边能组成一个三角形”是结论。
显然，条件（A）对于结论(D)的成立是不够的，必须加强。加上条件（B）(C)就能保证结论D的成立（这是三角形的基本性质，学生不难理解）。因此，条件(A)+(B)+(C)对于(D)成立是充分的。进一步分析，这个条件是否多了？显然，容易证明C=>B，C=>A。因此，条件(C)成立就能保证结论（D）成立。反过来，要使（D）成立，必须要（A）（B）(C)同时成立，缺少了（A）（B）(C)的任何一个条件都不能保证（D）成立。因此，（A）（B）(C)三个条件对于(D)成立是必不可少的，是必要条件。这就是说，（C）是（D）成立的充分必要条件。
定义3：如果A=>B，又有B=>A，就说A是B成立的充分必要条件。
例1：
1.x-1=0是x2-1=0的充分条件，但不是必要条件。因为x=-1也能保证x2-1=0。
2.“四边相等”是“一个四边形是正方形”的必要条件，但不是充分条件，因为四边相等的四边形不一定是正方形，可能是菱形。
3.“学习成绩优秀”是“三好学生”的必要条件，但不是充分条件，因为要成为一名三好学生，必须德、智、体、美全面发展。
4.“b=0”是直线y=kb+b过原点的充分必要条件。
深刻理解充分必要条件，对培养学生的发散思维是很有用的，从必要条件到充分条件是一种很好的数学思维方法，在解选择题时用来否定选择支，是一种很有效的办法。
例2：
如右图所示（A）∠BAC=90°，(B)AB=AE，AN⊥BE，DM⊥BE，(C)证明：MN=NC。
对于由（A）(B)=>C是容易证明的。只要延长DA到F，使AD=DF，证明ΔAFC≌ΔABE。
假设条件（B）不变，由(C)能保证(A)为真吗？
简单证明：
延长DA到F，使DA=ADF，D在ΔBAC和ΔEAF中，∵AB=AC，AF=AD=AE，∴2∠ABC+2∠AFE=180°∴∠ABC+∠AFC=90°，∴FE⊥BC，又MN=NC，AF=AD，∴NA∥FC，∴BE⊥AC，∴E为三角形的垂心，∴CA⊥BF=>∠A90°。
这就是说，在条件（B）不变的前提下，（A）和（C）是互为充分必要条件，在教学中采用这变换的方式，对培养学生的发散思维是很有效的。
例3：
已知M={(XY)|y≥x２}N={(XY)|x２+(y-a)２≤1}，那么要使M∩N=N成立的充分必要条件是（）（A）a≥411(B)a=411(C)a≥1D)0
例4：
a、b∈R-，且（a+1）(b+1)=2，那么arctga+arctgb=()(A)1/2（B）1/3（C）1/4（D）1/5分析：1.题目的已知部分，实际上给出了点集M＝{（a.b）|(a+1)(b+1)=2，(a、b∈R-}2.题目的结论部分，是寻求一个恒成立的关系：arctga+arctgb=()，再考虑所给出的结论是否正确，这实际上是寻求M的充分条件来验证结论。假设（A）正确，取a=0，b=1，这时，arctga+arctgb=1/4.所以(A)被否定。同理可以否定（B）(D)，从而可以肯定（C）正确。
事实上，充分必要条件作为一种数学思想，或者说数学方法，在解决很多推理性的数学问题中都会用上。我们教师平时编制的练习，特别是一些证明题目，给出的条件和和要证明的结论很多是互为充分必要条件，或者所给出的条件是结论的充分条件。由此，我们在一个题目中，可以编制出很多同一知识点的练习题目，这一思想对培养学生的发散思维很有帮助。
（作者单位：广东省肇庆市技师学院）
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问题1：到民航售票处买机票，单拥有人民币是不够的，还要有身份证才能买到机票。
这实质是一个充分必要条件问题。单“拥有人民币”这个条件对于“买到机票”这件事来说是不够的，不充分的，必须加强条件。但加到什么程度才能恰好买到机票呢？显然，加上身份证明就够了。然而，人民币、身份证明对于买到机票这件事来说是必不可少的，缺少了任何一种都不能买到机票。
定义1：如果条件A成立，那么就有结论B成立，即A=〉B，就说A对于B成立是充分的，A是B成立的充分条件。
这就是说，为使结论B成立，具备条件A就够了。
定义2：如果没有条件A，就没有结论B成立，则A=〉B，那么就说A对于B成立是必要的，A是B成立的必要条件。
对于问题1，“拥有人民币”或“身份证”只是买到机票的必要条件。同时拥有“人民币”和“身份证”才是“买到机票”的充分条件。我们用通俗的语言引入充分条件和必要条件的定义，可以很好地帮助学生理解充分必要条件的要义。
问题2：a、b、c是三角形的三条边，要成为一个三角形，a、b、c应满足什么条件。
这实际上是要寻求一个充分必要条件。考虑结论成立的几个必要条件。
（A）a＞0，b＞0，c＞0；(B)a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a；(C)|a–b|＜c，|a–c|＜b，|b–c|＜a。（D）“以a、b、c为边能组成一个三角形”是结论。
显然，条件（A）对于结论(D)的成立是不够的，必须加强。加上条件（B）(C)就能保证结论D的成立（这是三角形的基本性质，学生不难理解）。因此，条件(A)+(B)+(C)对于(D)成立是充分的。进一步分析，这个条件是否多了？显然，容易证明C=>B，C=>A。因此，条件(C)成立就能保证结论（D）成立。反过来，要使（D）成立，必须要（A）（B）(C)同时成立，缺少了（A）（B）(C)的任何一个条件都不能保证（D）成立。因此，（A）（B）(C)三个条件对于(D)成立是必不可少的，是必要条件。这就是说，（C）是（D）成立的充分必要条件。
定义3：如果A=>B，又有B=>A，就说A是B成立的充分必要条件。
例1：
1.x-1=0是x2-1=0的充分条件，但不是必要条件。因为x=-1也能保证x2-1=0。
2.“四边相等”是“一个四边形是正方形”的必要条件，但不是充分条件，因为四边相等的四边形不一定是正方形，可能是菱形。
3.“学习成绩优秀”是“三好学生”的必要条件，但不是充分条件，因为要成为一名三好学生，必须德、智、体、美全面发展。
4.“b=0”是直线y=kb+b过原点的充分必要条件。
深刻理解充分必要条件，对培养学生的发散思维是很有用的，从必要条件到充分条件是一种很好的数学思维方法，在解选择题时用来否定选择支，是一种很有效的办法。
例2：
如右图所示（A）∠BAC=90°，(B)AB=AE，AN⊥BE，DM⊥BE，(C)证明：MN=NC。
对于由（A）(B)=>C是容易证明的。只要延长DA到F，使AD=DF，证明ΔAFC≌ΔABE。
假设条件（B）不变，由(C)能保证(A)为真吗？
简单证明：
延长DA到F，使DA=ADF，D在ΔBAC和ΔEAF中，∵AB=AC，AF=AD=AE，∴2∠ABC+2∠AFE=180°∴∠ABC+∠AFC=90°，∴FE⊥BC，又MN=NC，AF=AD，∴NA∥FC，∴BE⊥AC，∴E为三角形的垂心，∴CA⊥BF=>∠A90°。
这就是说，在条件（B）不变的前提下，（A）和（C）是互为充分必要条件，在教学中采用这变换的方式，对培养学生的发散思维是很有效的。
例3：
已知M={(XY)|y≥x２}N={(XY)|x２+(y-a)２≤1}，那么要使M∩N=N成立的充分必要条件是（）（A）a≥411(B)a=411(C)a≥1D)0
例4：
a、b∈R-，且（a+1）(b+1)=2，那么arctga+arctgb=()(A)1/2（B）1/3（C）1/4（D）1/5分析：1.题目的已知部分，实际上给出了点集M＝{（a.b）|(a+1)(b+1)=2，(a、b∈R-}2.题目的结论部分，是寻求一个恒成立的关系：arctga+arctgb=()，再考虑所给出的结论是否正确，这实际上是寻求M的充分条件来验证结论。假设（A）正确，取a=0，b=1，这时，arctga+arctgb=1/4.所以(A)被否定。同理可以否定（B）(D)，从而可以肯定（C）正确。
事实上，充分必要条件作为一种数学思想，或者说数学方法，在解决很多推理性的数学问题中都会用上。我们教师平时编制的练习，特别是一些证明题目，给出的条件和和要证明的结论很多是互为充分必要条件，或者所给出的条件是结论的充分条件。由此，我们在一个题目中，可以编制出很多同一知识点的练习题目，这一思想对培养学生的发散思维很有帮助。
（作者单位：广东省肇庆市技师学院）
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