浅谈二次函数在高中阶段的应用

来源:新教育时代·教师版
关键字:初中,二次函数,高中
发布时间:2015-09-14 12:06

　　在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。

　　一、进一步深入理解函数概念

　　初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为（x）=ax2+bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

　　类型I：已知（x）=2x2+x+2，求（x+1）

　　这里不能把（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。

　　类型Ⅱ：设（x+1）=x2－4x+1，求（x）

　　这个问题理解为，已知对应法则下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。

　　一般有两种方法：

　　（1）把所给表达式表示成x+1的多项式。

　　（x+1）=x2－4x+1=（x+1）2－6（x+1）+6，再用x代x+1得？（x）=x2－6x+6

　　（2）变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。

　　令t=x+1，则x=t-1∴（t）=（t-1）2－4（t-1）+1=t2－6t+6从而？（x）=x2－6x+6

　　二、二次函数的单调性，最值与图象

　　在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－b2a]及[－b2a，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。

　　类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。

　　（1）y=x2+2|x－1|－1

　　（2）y=|x2－1|

　　（3）=x2+2|x|－1

　　这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。

　　类型Ⅳ设（x）=x2－2x－1在区间[t，t+1]上的最小值是g（t）。

　　求：g（t）并画出y=g（t）的图象

　　解：（x）=x2－2x－1=（x－1）2－2，在x=1时取最小值－2

　　当1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=－2

　　当t＞1时，g（t）=（t）=t2－2t－1

　　当t＜0时，g（t）=（t+1）=t2－2

　　t2－2，（t<0）