艺术美的数学本质

　　摘要：在近现代发展中，数学与艺术相互作用和互相渗透，在艺术与美学的研究中受自然科学特别是数学发展的影响，而数学学科的发展也从艺术和美学中吸取营养、得到启发等。数学与艺术的有机结合会对二者的发展起重大作用。在数学教育中培养艺术情感，在艺术教育中促进数学意识发展，是推动艺术与数学共同发展的必然。

　　关键词：数学；艺术美感；相互为用；相互渗透

　　数学作为人类文化的有机组成部分，人们愈来愈认识到，作为人类智慧最高产物的数学，它的发展与人类文化十分密切，不仅对人类文化的发展产生深刻影响，人类文化也极大地推动着数学的进步。数学与艺术作为人类创造的两种主要文化产品，它们的发展是休戚相关的。千百年来，艺术家们在研究艺术美的过程中，探索出其中的数学本质，从而，使数学从思维和技术等多角度为艺术提供了方法论基础和技术手段，而艺术为数学的发展与应用提供了舞台，并在某种角度促进数学发展。

　　一、艺术美即数学的和谐美

　　美是人们对和谐事物的愉悦感受，而数学能够在普遍意义上表现世界的秩序、结构、条理、和谐和完美。一个不争的事实是，作为研究美和艺术的西方美学史的源头，竟产生于一位数学家毕达哥拉斯及他的毕达哥拉斯学派。这一学派首先将数学和美和艺术结合在了一起。该学派认为，数学中研究的数是万物的先在和来源，万物是对数的摹仿的派生。毕达哥拉斯学派的最高美学理想——美是数的和谐。他们将世界万物数理化的同时也是对世界万物的形成化——从形式美的视角讨论美、艺术的规律。他们认为：“一切立体图形中最美的是球形；一切平面图形中最美的是圆形”，“黄金分割段形式最美，它们之所以美，就在于它们的形式在数理关系上绝对对称，比例协调，整体结构和谐悦目。”这就是从艺术美中探索出来的数学形式。黄金比例作为从美学中提炼出来的数学规律，一直是指导美术创作的重要思想。

　　希腊雕刻家波里克勒特(约公元前5世纪)正是在毕达哥拉斯学派的“数理形式”思想的影响下成就了《论法规》一书，书中研究了人体各部分之间的数学比例。他的那尊闻名于世的青铜雕像《持矛者》正充分体现了他的人体“法规”理想：身长与头的比例是8：1；全身的重心在一只脚上而使另一只脚放松；与重心的转移相适应；全身的动作及肌肉相应的有所改变，从而塑造了一个强壮结实、稳重坚定而不失机警灵活的战士形象。《论法规》中有这样一句格言：“成功要依靠许多数的关系，而任何一个细节都是有意义的。”

　　天文学家开普勒坚信根据数学和音乐的和谐性可以发现行星规律，这对于他提出在科学史上具有重大意义的“开普勒三定律”有深刻的影响。

　　二、艺术中深藏数学规律

　　文艺复兴时期，描绘现实世界成为艺术家绘画的目标。为了完成从创作图画到设计教堂、公共建筑、桥梁和军事器械等的转变，即把三维的现实世界绘制到二维的画布上。他们必须学习数学、物理、工程建筑等学科。许多艺术家都使用和研究数学，以达？芬奇为代表的一大批卓越的天才，创立了一整套全新的数学透视理论，并将这种理论运用于绘画艺术中，建立了全新的绘画风格。掌握透视法已经成为与美术相关专业人士必备技能。

　　毕达哥拉斯从铁匠打铁时发出的不同声音中受到启发，发现两根绷得一样紧的琴弦，如果其中一根的长度是另一根的两倍，那么，它们发出的声音就相差八度。如果两根弦的长度比为3∶2，短弦比长弦发出的声音就高四度。这就是毕达哥拉斯所发现的音程与弦的频率之间的数量关系。“数的关系是唯一规定音乐的方式。”毕达哥拉斯就是这样用数去规定着音乐。将数学与音乐相统一，无疑是数学家毕达哥拉斯在两千多年前开创的光辉事业。值得骄傲的是，这种观点还一直沿继至今。

　　其实，艺术和数学之间存在某种深刻的关系——异质同构。这种关系具体地表现为各自结构中元素之间的某种对应，通过这种对应，两种结构中某种不变的关系被保持下来。我们把这种不变关系叫做同构。可以把艺术表现的各种形式，如绘画中的明与暗、浓重与淡雅、直与斜、对称与不对称；音乐中音调的高与低、节奏的快与慢、急促与舒缓等这些对偶范畴与数学中的连续与离散、明晰与模糊、直线与曲线、多与少等建立一种对应。因此，总可以从美的艺术形式找到其数学规律。于是，在计算机的帮助下，产生了的电脑美术就是运用数学进行设计、计算机音乐制作就是运用数学进行音乐创作等专业。

　　三、艺术创作需要数学思维

　　著名数学史学家M·克莱因曾阐述过：“数学一直是形成现代文化的主要力量，同时又是这种文化极其重要的因素。”它提供给其他科学和文化艺术的可供选择的模型和理论比以往历史上的任何时候都更丰富、更有用。随着人类的进步与发展，艺术和美学的研究必然要受到自然科学、特别是数学发展的影响。从整体上看，任何一门学科都要科学化的总趋势是不可逆转的，艺术和美学也不能例外，亦即艺术和美学的发展，也不能不借助于其它学科的帮助，同样要从自然科学和数学的发展中吸取养份。

　　在美术领域，运用数学方法和技术的历史悠久，例子很多，不胜枚举。在古希腊，雅典的剧场就已开始利用投影这一几何概念来设计舞台布景。现今的分形艺术就是由数学创造的美丽世界。

　　在音乐领域，早在古希腊，毕达哥拉斯就发现了音乐中的某些数学规律。我国明代数学家和声学家朱载靖在一个八度音程内算出了十二音程值相等的半音，创立了“十二平均律”。连现代钢琴这样多键盘乐器的制作，也有赖于这种声学理论。后来，人们研究出弦长与频率的数学关系式，这为钢琴等乐器的生产提供了理论指导，大大提高了生产效率。

　　二十世纪四十年代完全摆脱传统音乐思维方式的束缚开始形成了现代音乐，这时候，最典型的现代派音乐思维是一种纯粹的数理逻辑模式化思维。其中，法国音乐家梅西安利用整体序列音乐的思维模式创作的《钢琴节奏练习曲》之三《时值和力度的模式》，被誉为是“星空中的幻想音乐”。其主要原因就在于：数理模式化思维创作的乐曲在听觉欣赏中是完全感性的。这应验了数学家莱布尼兹关于“音乐的基础是数学，而表现是直觉”的理论，所以听多了可以领会到感觉音响中有规律性的时空和音响序列存在。这便像古希腊毕达哥斯学派说的宇宙音乐那样，各种天体在一定距离上按一定的速度作交相运动产生的数的有序音响一样美妙。此外，数理逻辑模式化思维还产生了机遇音乐和概率音乐。

　　只有把人类的一切先进的思维方式或手段用于艺术和美学的研究，才能从中探索出自身所特有的新的研究模式和思维系统，也只有这样才会使艺术与美学的发展有所突破而带来新的变革与生机。当前已有一些才智出众的艺术家和美学家注意到了这一点，他们已经在研究和创作中吸取了心理学、生理学、精神分析学、实验科学、信息论、控制论、系统论、人工智能，尤其是把计算机及数学中的函数运算和推理等与之有益的成份，甚至使得诸如拓扑学、模糊数学、数理逻辑等高等数学中的抽象学科也都在他们研究与创作中找到了合适的位置。

　　音乐是感性的数学，数学是理性的音乐。艺术家不是梦想过让自己的作品构成一个充实而封闭的系统吗？实际上，这种梦想和追求是受益于现代数理逻辑的形式化方法和种种形式系统(即逻辑演算)之构造的影响，并从中获得了不少的帮助。如有的音乐家在音乐创作中开始尝试侧重于作曲中的数学规律的考虑，为此将更有利于乐曲的创作。总之，“当科学的推理方法被加以运用之后，当表象被攻破和掌握之后，对感性形式的趣味就会更加激起我们对存在之圆满的感性，以及我们与存在之间的那种天然而亲密的、而且是不可取代的情感”这正是艺术家与美学家所期待的而且被证实的一种感受。正如马克思早就指出的那样，各门学科只有当它能成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。

　　四、艺术美与数学美共荣

　　历史证明，许多艺术研究中总结出来的数学规律，填补了数学的空缺，甚至开辟了数学新领域。

　　随着数学透视法深入运用，天才阿尔贝蒂及其《论绘画》也就应运而生了。弗朗西斯卡认为，透视法是绘画的科学并且企图通过数学来修改和推广根据经验所得的知识，他进一步推进了阿尔贝蒂的投影线和截景思想，给出了直观易懂的定义来帮助艺术家们，然后他提出定理，并且通过作图或作一个比例计算来“论证”这些定理。数学透视理论最终导致了笛沙格于1639年提出了射影几何学，射影几何学人运用，也进一步促进艺术美的发展。

　　艺术与数学的共存共荣，必定会在艺术与数学的发展中起重大作用。在数学教育中挖掘其中的艺术美，在艺术教育中，我们要努力探索其中的数学美。

　　参考文献：

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　　关业刚 韩元香